台北市立建国高级中学第六十六期通讯解题题目解答与评析.doc

台北市立建國高級中學第六十六期通訊解題題目解答與評析 6601 3901 38011 紙上寫有1,2,…,2008這2008個正整數，第1步劃去前面4個數1,2,3,4，在2008後面寫上劃去的4個數的和10，第2步再劃去前面4個數5,6,7,8，在最後面寫上劃去的4個數的和26；如此下去（每步劃去前面4個數，在最後面寫上劃去的4個數的和），到最後剩下一個數為止，所有寫出的數（包括原來的1,2,…,2008）的總和是多少？ 【解答】 『方法一』（1）假定原先有4k個數，其和為S，當4k個數劃完，需要4k-1步，紙上剩下4k-1 個數，這4k-1個數的和等於原來4k個數得和S，故當最後剩下一個數時， 所有寫出的數的總和是(k＋1)S。（2）2008＝45＋984，原來的數經過＝328步後，剩下45個數，被劃去的數 有328×4＝1312個，它們是1,2,…,1312，而紙上剩下的45個數之和就是 1＋2＋…＋2008，因此，最後剩下一個數時，所???出數的總和為 (1＋2＋…＋1312)＋6(1＋2＋…＋2008)『方法二』台北市民生國中姚驊庭的作法，略加修改。以下黑字為寫上的數字，紅字為每組剩下的數字，第一組：2008個1,2,…,2008第二組：502個(1＋2＋3＋4),(5＋6＋7＋8),……,(2005＋2006＋2007＋2008)第三組：125個，剩下2個(1＋…＋16),(17＋…＋32),……,(1985＋…＋2000) ,(2001＋…＋2000) ,(2002＋…＋2008)第四組：31個，剩下3個(2001＋…＋2008,＋1＋…＋32),(33＋…＋96),…,(1889＋…＋1952),(1953＋…＋1968) ,(1969＋…＋1984) ,(1985＋…＋2000)第五組：8個，剩下2個(1953＋…＋2008,＋1＋…＋32), (33＋…＋288), …,(1569＋…＋1824) , (1825＋…＋1988 ),(1989＋…＋1952)第六組：2個，剩下2個(1825＋…＋2008,＋1＋…＋288), (289＋…＋1312), (1313＋…＋1568 ),(1569＋…＋1824)第七 組：1個(1＋…＋2008) 所寫出數的總和為以上七組中黑字的數字的總和，總和為(1＋2＋…＋1312)＋6(1＋2＋…＋2008)【評析】 『方法二』台北市民生國中姚驊庭的作法，是根據題意按部就班畫記、計算得到解答。硬算，亦是解決數學問題的方法之一，同學們可從過程中訓練自己演繹、歸納的能力。 『方法一』利用歸納出本題的規律性『假定原先有4k個數，其和為S，當4k個數劃完，需要4k-1步，紙上剩下4k-1個數，這4k-1個數的和等於原來4k個數得和S，故當最後剩下一個數時，所有寫出的數的總和是(k＋1)S』而解決此題。 本題參與徵答的同學中，一些同學的作答中或有錯誤、或是不完整，同學作答之後應再作檢驗，當可減少錯誤，以期作答更完整。 解題的訓練，不是答案作出來就OK了！可進一步思考、歸納這個數學問題是否有規律性？是否有其他的解法？可否推廣至一般性？這部份的思考、研究會讓您獲益良多！ 本題參與徵答人數有10人，分數如下：得7分者，3人：台北市民生國中姚驊庭 台中市居仁國中郭昱廷 台北市民生國中陳士鈞 得5分者，3人：台中縣光德國中陳和謙 台北市民生國中洪欣均 台北市民生國中張育僑得4分者，1人： 6602 3901 38011  有2008張卡片，編號：1,2,3,4,------,1000， 在編號是2的倍數卡片印上一個”*”記號； 在編號是4的倍數卡片再增加印上一個”*”記號； 在編號是8的倍數卡片再增加印上一個”*”記號； 在編號是16的倍數卡片再增加印上一個”*”記號， 然後停止印卡片的動作。(例如：編號是64的卡片因為是16的倍數，所以共印上4個”*”記號。)將卡片由編號1,2,3,----,1000號順著正整數的編號開始數”*”記號的次數，則第2008個”*”記號是在編號哪一張上？ 【解答】 找出規律 將1-16號卡片的”※”記號依序標出 卡片號碼12345678910111213141516※個數01020103010201041-16號共標有15 個※號 17-32號也標有15個※號 2008 ÷16=133---13 第13個標號標於第16張卡片上 16×134=2144 但只有2008張卡片，故此題無解 (桃園縣新興國中陳宗蔚與台中