[必威体育精装版]2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第75讲_几何不等式.doc

第75讲 几何不等式 本讲只要内容是几何不等式: A类例题 例1已知D是△ABC的边AB上的任意一点,E是边AC上的任意一点,连接DE,F是连接线段DE上的任意一点.设eq \f(AD,AB) = x, eq \f(AE,AC) = y, eq \f(DF,DE) = z, 证明: S△BDF=(1–x)yzS△ABC, S△CEF= x(1–y)(1–z)S△ABC; (2) eq \r(3,S△BDF) +eq \r(3,S△BDF)≤eq \r(3,S△ABC).(2003年女子数学奥林匹克试题) 证明 (1) 如图,有 S△BDF= z S△BDE=z(1–x) S△ABD= z(1–x)yS△ABC, S△CEF=(1–z)S△CDE=(1–z)(1–y)S△ACD=(1–z)(1–y) xS△ABC. (2) eq \r(3,S△BDF) +eq \r(3,S△BDF)=(eq \r(3,(1–x)yz) + eq \r(3,x(1–y)(1–z)))eq \r(3,S△ABC) ≤(eq \f((1–x)+y+z,3) + eq \f(x+(1–y)+(1–z),3))eq \r(3,S△ABC) =eq \r(3,S△ABC) . 例2如图，在△ABC中,P,Q,R将其周长三等分，且P,Q在AB边上，求证： (1988年全国高中数学联赛第二试试题) 证明 从C,R向AB引垂线，用放缩法证明所需不等式. 不妨设周长为1，作△ABC、△PQR的高CL、RH. 情景再现 1. 已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任意一点,E是边AC上任意一点,连接DE, F是线段DE上的任意一点，设eq \f(AD,AB) = x, eq \f(AE,AC) = y, eq \f(DF,DE) = z,且 y+z??x= eq \f(１,2). 试求△BDF面积的最大值．(2005年湖南省数学竞赛试题) 2. 如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，证明S△BPF、S△PCE和S平行四边形PEAF 中至少有一个不小于(S…表示图形的面积) (1984年全国高中数学联赛第二试试题) Ｂ类例题 例3 (Erd?s-Mordell不等式)设P是△ABC内的任意一点, P到三边BC、CA、AB的距离分别为PD＝p、PE＝q、PF＝r，并记PA＝x，PB＝y，PC＝z，则x+y+z≥2(p+q+r) 等号成立当且仅当△ABC是正三角形并且P为此三角形的中心. 证明 如图, 以∠B的平分线为对称轴分别作出A、C的对称点A?、C?. 连接A?C?，又连接PA?、PC?， 在△BA?C?中，容易得到 ① 等号成立当且仅当BP⊥A?C?. 由于△ABC≌△A?BC?, ①式等价于eq \f(1,2) cp + eq \f(1,2) ar≤eq \f(1,2) yb. 即y≥eq \f(c,b)?p + eq \f(a,b)?r ② 同理x≥ eq \f(c,a)?q + eq \f(b,a)?r ③ z≥ eq \f(b,c)?p + eq \f(a,c)?q ④ 将不等式②、③、④相加得 x+y+z≥p(eq \f(c,b)+eq \f(b,c))+q (eq \f(c,a)+eq \f(a,c))+r(eq \f(a,b)+eq \f(b,a))≥2(p+q+r).