[中学联盟]三角函数的图像与性质.doc

省栟中高一数学复习讲义 编写：缪鹏 三角函数的图像与性质 【课前预习】 1函数f(x)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的最小正周期是________． 1. eq \f(π,2)　解析：对解析式进行降幂扩角，转化为f(x)＝－eq \f(1,2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,2)))＋eq \f(1,2)，可知其最小正周期为eq \f(π,2). 2. 将函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________． 2. eq \f(π,6)　解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位后，得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))，则eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，又0≤φ≤π，故φ＝eq \f(π,6). 3.已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则f(x)的取值范围是________． 3. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))　解析：由题意知，ω＝2，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，由三角函数图象知：f(x)的最小值为3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq \f(3,2)，最大值为3sin eq \f(π,2)＝3，所以f(x)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)). 4.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的图象如图所示，则y的表达式是________． 4. y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1　解析：由图知，A＝eq \f(\f(5,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),2)＝eq \f(3,2)，eq \f(T,2)＝eq \f(7,12)π－eq \f(π,12)，∴T＝π，则ω＝2，k＝1，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(5,2)))代入解析式可求得φ＝eq \f(π,3)， ∴y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1. 【典型例题】 例1求下列函数的值域： (1)y＝2cos2x＋2cosx； (2)y＝3cosx－eq \r(3)sinx； (3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx. (4)y＝eq \f(2sinx＋1,sinx－2). 解析：(1)y＝2cos2x＋2cosx＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,2)))2－eq \f(1,2).于是当且仅当cosx＝1时取得ymax＝4， 当且仅当cosx＝－eq \f(1,2)时取得ymin＝－eq \f(1,2)，故函数值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，4)). (2)y＝3cosx－eq \r(3)sinx＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx－\f(1,2)sinx))＝2eq \r(3)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))). ∵|coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))|≤1，∴该函数值域为[－2eq \r(3)，2eq \r(3)]． (3)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝eq \f(t2－1,2)，且|t|≤eq \r(2).∴y＝eq \f(1,2)(t2－1)＋t＝eq \f(1,2)(t＋1)2－1， ∴当t＝－1时，ymin＝－