数学建模课件-初等建模.pptVIP

初等模型 ;;;;;;;;例３　某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. （１）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （２）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. ? 解析:（1）如图，为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为T，小艇到达T位置时轮船的航行位移 ? ? (2)讨论：①若轮船与小艇在Ａ、Ｔ之间Ｇ位置相遇时，根据小艇的速度限制，有OG＜AG，但实际上，这种情况中AG＜OG，所以不符合要求舍去.轮船与小艇的交点必在T、B之间.②若轮船与小艇在H处相遇时，在直角三角形OHT中运用勾股定理有： ;;;( k 为某一常数 );;;;;某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。;令：;§2.2 双层玻璃的功效;设玻璃的热传导系数 为k1，空气的热传导系数 为k2，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为θ ;此函数的图形为;问题： 某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重？;三重玻璃的功效?;§2.3 崖高的估算;方法一;除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得： ;若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 ;还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个方程组： ;状态转移问题 人、狗、鸡、米问题 人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人，狗、鸡、米应如和过河？ ;允许状态集合 我们用（w, x, y, z），w, x, y, z=0或1，表示南岸的状态，例如（1，1，1，1）表示它们都在南岸，（0，1，1，0）表示狗，鸡在南岸，人，米在北岸；很显然有些状态是允许的，有些状态是不允许的，用穷举法可列出全部10个允许状态向量， (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1);;三名商人各带一个随从乘船渡河，现有一只小船只能容纳两个人，由他们自己划行，若在河的任一岸的随从人数多于商人，他们就可能抢劫财物。但如何乘船渡河由商人决定，试给出一个商人安全渡河的方案。;;§2.8 方桌问题;现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、C的初始位置在x轴上，而B、D则在y轴上，当方桌绕中 心0旋转时，对角线 AC与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 f(θ)为A、C离地距离之和，g(θ)为B、D离地距离之和，它们的值 由θ唯一确定。由假设（1），f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数。又 由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 f(θ)g(θ)=0 必成立（ θ）。不妨设f(0)=0,g(0)0（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：; ;例3 录像带还能录多长时间;r;r;t= an2+bn ;例4（理想单摆的摆动周期）;此方程组中不含 e，故（0, 0, 0, 0, 1）为一解，对应的π1=θ即为无量纲量。为求另一个无纲量可 令b=1，求得（0，1，2，-1，0），对应有 ;§2.7 赛艇成绩的比较(比例模型);考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段， 即初始时刻的加速阶 段、中途的匀速阶段和到达终点的冲刺阶段 。由于赛程较长，可以略去前后两段而只考虑中间一段 ，为此，提出以下建模假设。;故; ;例5（最短路径问题） ;以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。;最速方案问题;此问题为一泛函极值问题，求解十分困难，为得出一个最速方案。我们作如