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第一讲 评价相对有效性的DEA模型 ——运筹学的新领域 1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯), W.W.Cooper(库伯), 及E.Rhodes(罗兹)首先提出了一个被称为数据包络分析（Data Envelopment analysis, 简称DEA模型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）.他们的第一个模型被命名为C2R模型.从生产函数的角度看,这一模型是用来研究具有多个输入,特别是具有多个输出的“生产部门”同时为“规模有效”与“技术有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,库伯,格拉尼(B.Golany),赛福德(L.Seiford)和斯图茨(J.Stutz)给出另一个模型(称为C2GS2模型),这一模型用来研究生产部门间的“技术有效性”. ; 1987年查恩斯,库伯,魏权龄和黄志明又得到了称为锥比率的数据包络模型——C2WH模型。这一模型可用来处理具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”.灵活地应用这一模型,可以将C2R模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队. 数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域.查恩斯和库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例,就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中,输出包括“自尊”等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度等,无论哪种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定出适当的权重(权系数),这也是DEA的优点之一. DEA的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行,基地维修与保养,以及陆军征兵,城市,银行 ;等方面.目前,这一方法应用的领域在不断地扩大.它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目的评价);研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何(例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否为有效).DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。 为了说明DEA模型的建模思路，我们看下面的例子; 例1： 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个???业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据如下表;对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值4v1+15v2+8v3，其中u1 u2 v1 v2 v3分别为产出与投入的权重系数。;我们限定所有的hj值不超过1，即 ，这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。;设; 设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重， 则第j个企业投入的综合值为 ，产出的综合值为 其生产效率定义为: 于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2，使第j个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。 ; 根据上述分析，可以建立确定任何一个企业（如第3 个企业即丙企业）的相对生产率最优化模型如下： ;… … : …;而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为：; 这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此，令 ;（2）;其对偶问题为：;设问题（4）的最优解为λ*，s*-,s*+,θ*，则有如下结论： ;有效解的解释：F(X)={f1(X),f2(X),…,fn(X)} 如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X) ;17;P63例28 以1997年全部独立核算企业为对象,对安徽、江西、湖南和湖北四省进行生产水平的比较。投入要素取固定资产净值年平均余额(亿元),流动资金年平均余额及从业人员(万人),产出要素取总产值(亿元)和利税总额(亿元).;1. 建立评价湖南省的DEA模型如下;2、具有非阿基米德无穷小的C2R模型 在评价决策单