中南大学高等代数2009年考研试题.PDFVIP

2009 年 一 、 填空题 (2 5 分) 1 、 4 χ3 _ 4x 2 - 5x - l 的有理根的晦合为 2 、世 n 阶方阵 A 的元章金为 1， 则 A 的 n 个特征根为 A 的最小多项式为 3 、数字矩阵 A 的初等因于是 λ ， λ ， λ2 ， λ+ 1 ， -- 1 ， λ- 1 ， (λ + 1)2 ，则 A 的不变因于是 4 、世向量组 α 叫，叫线性无关，目 IJ 常数 1 ， 111 满足 时向盘组 lα2 叫，国 3 吨， αl 民线性无关 1 0 - 1 i 据 3 维瞅空间 Y 的组基叭，叫及其度盹阵 o 2 0 ，时 = 2α l 询庐的情是 - 1 0 3 二 、(2 5 分) 1 、 (1 0 分〉证明 在有理数域上存在任意次数的不可约多项式 2 、(1 5 分)世 f(吟 ， g(x) 是数域 P 上两个不全为 0 的多项式，记 M = (f(x)s(x) + g(X)t(X) I S(X) ， t(X) 均 为 P 上多项式} . 证明 M 中次数最低的首 I ct 项式是 (f(x) ， g(x)) 三 、(2 5 分〉 Lnl-X n γ勺- xnxn 「 x 。 升) 计 算行页夕t 式 D υ = X1 X 2 X n - ml 2 、(1 5 分〉世 A = (a ， ) 为一个 n 阶方阵，且对任何 i = 1 ， 2 ， ...， n ，再~::I a， 1 Ia, li A 证四明、(A 列证式明#才。 阳山几 叫; G l 口 um 又 任 何矩 阵 AA 有 T T rank(A A) = rank(AA ) 其中 A 表示 A 的转置 ， rank(B) 表示 B 的秩 2 、(1 3 分)世 A 为一个 n 阶方阵，证明 对任何满足 rank(A) k n 的 k ， 必存在 n 阶方阵 B 使得 rank( A) + rank( B) = rank( A + B) = k 2 五 、 (20 分) 己知二次型 f(??? ， XZX3) = (1 - a)xI + (I - a)过 + 2x; + 2 (1+ 时引冉的秩为 2 0 求 a 的值 2)求正主变jiI， x = Qy 把/化为标准 i B 3) 革方程 f(x ， ，冉冉 ) = 0 的解 六 、 00 分〉世线性空间 V 上的线性变换 σ 满足 σ ， σ ，证明 。 σ 的特征值只能为 0 或 1 2) 核 σ(的 ~{ασ(α)