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PAGE  PAGE 14 第一章 质点运动学 一、基本要求 1．理解质点模型和参考系、惯性系的概念。 2．掌握位置矢量、位移、速度、加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，能借助于直角坐标系和矢量三角形计算质点在平面内运动的速度和加速度。 3．掌握由运动方程求速度、加速度及由速度、加速度利用初始条件建立简单问题的运动方程。 4．掌握圆周运动的角速度和角加速度以及角量和线量的关系。 5．掌握用自然坐标系计算质点在平面内运动的速度、切向加速度和法向加速度。 6．掌握相对速度和参考系平动时的相对加速度。 7．掌握用高等数学计算运动学中的极值问题。 8．理解有运动方程推出轨道方程。 二、本章要点 1．质点、参照系 忽略物体的大小和形状的理想化模型，就简化为质点。为描述支点的运动所选取的参考物体即为参考系。 2．位置矢量 质点作机械运动时，为了确定质点在空间中的位置所引入的物理量，在直角坐标系中，位置矢量表示为 因为式中的坐标是时间的函数，所以该式又叫运动方程，由此也可得到质点的轨迹方程。 3．位移矢量和路程 质点在时刻的位移为，时刻的位移为，在-这段时间内质点的位移为 路程是质点沿轨迹走过的路径长度。位移和路程是不同的两个概念。 4．速度和速率 速度是描写质点运动快慢程度的物理量。 在直角坐标系下表示为 在自然坐标系下 其中为质点的速率。 5．加速度 加速度是描述速度变化快慢的物理量。 在直角坐标系下表示为 其中 在自然坐标系下， 其中：切向加速度 ，是描写速度大小变化的快慢，与切向平行；法向加速度 ，是描写速度方向变化的快慢，指向曲线的曲率中心。 6．匀变速运动 加速度恒定不变的运动，即恒矢量。由可得 7．圆周运动 线速度或速率 角速度 角加速度 角量与线量的关系 对于匀变速圆周运动，角加速度=恒量，则有以下公式 8．相对运动 当直角坐标系相对直角坐标系平动时，在系和系中所描写的运动质点的位矢、位移、速度、加速度有以下关系 等号左边的为质点在系中相应的物理量（即绝对量），等式右边第一项为系的坐标原点相对于系坐标原点相应的物理量（即牵连量），等式右边第二项为质点在系中相应的物理量（即相对量）。 三、例题 1-1 质点的运动方程为，则质点在秒时到原点的距离为 ，速度矢量为 。 解：时，位置矢量的大小和速度矢量分别为 () 1-2 一质点沿半径为１m的圆周作匀速圆周运动，其速率为1m/s，在它运动1/6圆周的过程中，平均速度的大小为_________。 解： 式中为运动的周期。 1-3 质点在XOY平面内运动，其运动方程为，。式中R、均为正常量，当y达到最大值时，该质点的速度为 。 解：当y达最大值时，由可得，，则。此时 1-4 一质点在ＸＯＹ平面上运动，运动方程为：，，（SI） （1）什么时刻位置矢量与速度矢量垂直？此时，它们各为多少？ （2）质点何时离原点最近？并求出相应的距离； （3）在运动方程中，若时间t取负值，所得结果如何解释？ 解：质点的运动方程和速度矢量分别为 当时， ，即有 解得 时，，； 时，，。 （2）因为，所以当最小时，有 解得 可验证：时，质点距原点最近，大小为。 (3) t取负值时，表示计时零点前的情况。 1-5 已知质点的运动方程为，在＞０的时间内，( A )。 (A)位置矢量可能和加速度垂直，速度不可能和加速度垂直； (B)位置矢量不可能和加速度垂直，速度可能和加速度垂直； (C)位置矢量和速度都可能和加速度垂直； (D)位置矢量和速度都不可能和加速度垂直。 解：当两个矢量的点乘积等于零时，它们相互垂直。因为 所以 令，得 ，； 令，得； 令，得。 所以(A)正确。 1-6 一质点沿Ｘ轴运动，其坐标与时间的关系为，该质点作加速运动的时间区间为( B )。 (A)０＜t＜１ (B)t＞１ (C)t＞ 解：因为，所以 要保证质点作加速运动就必须有、同号，即。所以 得 正确答案为(B)。 1-7 一个人身高为，在距地面高为的灯下以速度 （为正常量）沿过灯下的水平直线行走，求时刻人影顶端Ｍ点的速度和加速度。 解：以灯正下方O点为坐标原点，人前进的方向为x轴正向，建立坐标，如图所示。因为∽，所以。人的坐标