第22讲动态几何之最值问题探讨.docVIP

福州五佳教育教研中心，速提分，就选福州五佳教育 福州五佳教育锦元数学工作室 编辑 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 16～18讲，我们从运动对象的角度对轴对??（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 19～21讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行了探讨，22～26讲我们从问题类型的角度对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题进行探讨。 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，或某几何量取得最值时，求其他几何量的值，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过2013年全国各地中考的实例探讨其解法。 一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值： 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年湖北咸宁3分）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为　 ▲ 　． 【答案】。 例2：（2013年湖北武汉3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ▲ ． 如图，取AB的中点O，连接OH、OD， 则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OH=AO=AB=1。 在Rt△AOD中，， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小。 最小值=。 例3：（2013年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是　 ▲ 　． 　 例4：（2013年福建泉州14分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（﹣6，0），过点E（﹣2，0）作EF∥AB，交BO于F； （1）求EF的长； （2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G； ①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明； ②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）； （3）在（2）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值． 例5：（2013年广东茂名8分）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）． （1）求a的值和抛物线的顶点坐标； （2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等； （3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由． 二、应用垂线段最短的性质求最值： 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年江苏无锡2分）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，－a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为 ▲ . ∵，∴CD长的最小值为。 三、应用轴对称的性质求最值： 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（ 2013年广西贵港3分）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是【 】 A． B． C． D． 例2：（2013年湖北鄂州3分）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点