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2014研《高等代數》试题
西 南 大 学
2014年攻读硕士学位研究生入学考试试题
学科、专业:数学各专业 研究方向:所有方向
试题名称:高等代数 试题编号:819
(答题一律做在答题纸上,并注明题目番号,否则答题无效)
2.(20分)设,E为n阶单位矩阵。
(1)求A的最小多项式;
(2)证明线性无关;
(3)把表成的线性组合。
3.(20分)设A,B,C为数域P上n阶方阵,证明:如果AB = 0,AC = 0,, B ? 0,那么C的列向量均可被B的列向量线性表示,其中为A的秩。
4.(20分)设W是数域P上n维线性空间V的子空间。证明:存在V的线性变换,使得,。
5.(20分)设A为n阶实方阵,它的每个元素都是a,且a为非零实数。试证
(1)n阶矩阵可逆;
(2)存在一个次实系数多项式,使
。
其中E为n阶单位矩阵。
6.(10分)设复数域上n阶矩阵A的特征多项式为。证明:对??何正整数k,s有与相似。1.填空题(每小题10分,共60分)
(1)设,则g(x) 除f(x)的余式为 。
(2)四阶行列式 = 。
(3)= 。
(4)在线性空间P4中,向量在基,,,下的坐标是 。
(5)设P为数域,f为线性空间P3的线性变换,使
。
则f的核空间ker f的维数是 。
(6) 用正交线性替换把实二次型化为标准形,其标准形为 。
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