2013級本科线性代数自测复习题.docVIP

PAGE  PAGE 25 太原理工大学 2013级《线性代数》复习自测题 2014年4月 复习题（一） 1-5题为判断题 1．向量组A：，，与向量组B：，，等价。 （ ） 2．齐次线性方程组的非零解向量的分量全部不为零。 （ ） 3．设为阶矩阵，则可以经过初等变换化为。 （ ） 4．如果，那么成立。 （ ） 5．已知阶方阵的特征值为；的特征值为；的特征值为，那么。 （ ） 6-10题为单项选择题 6．已知非齐次线性方程组无解，并且其增广矩阵的秩等于4，那么系数矩阵的秩等于 （ ） （Ａ）3； 　 （Ｂ）2；　 （Ｃ）1；　 （Ｄ）0。 7．已知三阶方阵，则的逆矩阵等于 （　 ） （Ａ）； （Ｂ）； （C）； （Ｄ）。 8. 若、都是阶矩阵，并且可逆，那么 （ ） （Ａ）和相等； （Ｂ）和不相等； （Ｃ）和相似； （Ｄ）和不相似。 9．设二阶正定矩阵的特征值不相同，那么方程表示 （ ） （Ａ）圆；　 （Ｂ）椭圆；　 （Ｃ）双曲线；　　（Ｄ）抛物线。 10.若阶矩阵的每行元素之和都等于，则的每行元素之和都等于（ ） （Ａ）； （Ｂ）； （Ｃ）；　 （Ｄ）。 11-15题为填空题 11．若方阵满足，则的特征值等于　　 。 12．若，则行列式　　 。 13．已知向量组线性无关，则向量组，，也线性无关的充分必要条件是常数满足 。 14．已知是线性空间上的线性变换，并且，。则 。 15．已知通过向量组线性表示的方式不唯一，则常数应该满足的条件为 。 16．计算行列式。 17．求解线性方程组。 18．已知矩阵，求正交矩阵，使得。 19．已知，，，求解矩阵方程。 20．证明向量组，，线性无关；将向量用线性表示；如果，求出。 复习题（一）解答 1. ×。因为的秩为，而的秩为，所以它们不等价。 2. √。因为的秩为，所以方程组存在非零???，基础解系中只有一个向量，方程通解为，对于任意非零解应该满足，即非零解向量的分量全部不等于零。 3. √。因为为方阵，所以与是同型矩阵，而，所以与等价，因此可以经过初等变换化为。 4．√。矩阵与其伴随矩阵是可交换的，而当矩阵可交换时成立。 5. √。利用以及即可。 6. Ａ。因为方程组无解，所以，并且，所以系数矩阵的秩等于3。 7. C。根据逆矩阵的定义，直接验证即可。注意可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍为上三角矩阵，所以B,D一定错误。 8. Ｃ。因为，所以和相似。 9. B。因为为二阶正定矩阵，所以通过正交变换后，二次型化为，并且，所以方程表示椭圆。 10.Ｄ。阶矩阵的每行元素之和都等于，当且仅当，其中（此时是的一个特征值）。因此由知，所以的每行元素之和都等于。 11. 。若是的特征值，则由可知，所以。 12. 。 。 13. 。设，即 ，而线性无关，所以，此方程组仅有零解当且仅当行列式，所以。 （记，，，可直接写出行列式，其中第列就是用线性表示的系数。） 14. 。因为向量，而是线性变换，它保持线性运算，所以。 15. 。线性表示方式不唯一说明向量组是相关的，三个向量组成的行列式一定为0。 16．（利用行列式的性质，化为上三角，也可以结合展开定理降阶。或者二者联合使用。（四阶行列式的计算是必须掌握的内容） 17．。（线性方程组的求解要求掌握） 18．因为，所以的特征值为。对于，解方程组，得到一个特征向量，同理，对于分别得到特征向量，。将分别单位化后的向量记为，则。（求特征值与特征向量，并与对角矩阵相似的内容要求掌握） 19．因为，而都可逆，所以，按照伴随矩阵方法或者初等变换的方法可求得 ，，所以。 （求逆矩阵的方法要求掌握） 20．记，所以 线性无关，并且。 如果，由于 线性无关，因此表示法唯一，所以 ，解得。或者因为，也得到此结果。 注意此题的解法：以给