2015年高考直线与圆锥曲线题型归类解析.docVIP

 PAGE \* MERGEFORMAT 17 直线与圆锥曲线题型归类解析 【知识点精讲】 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程代入曲线的方程，消去（或者）得到关于（或）的一元二次方程，即，消去后得. 当时，直线与圆锥曲线有一个交点，此时，若曲线为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若曲线为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行（或顶点且与抛物线对称轴垂直）。 当时，若，直线与曲线有两个不同的交点；若，直线与曲线有一个交点（注意不一定相切）；若，直线与曲线相离（无交点）。 圆锥曲线的弦 定义：连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦。 直线：，曲线：，为直线与曲线的两个不同交点，则是方程组的两组解，消去（或者）得.其中是方程的两根，由根与系数的关系（韦达定理）可得 弦长公式： 或。 三、已知??的中点，研究的斜率与方程 （1）是椭圆的一条弦，的中点，则直线的斜率为。运用点差法求直线的斜率：设是椭圆上不同的两点，则，两式相减得，整理得 。 （2）类似的，若是双曲线的一条弦，的中点，则；若曲线是抛物线，则。 【题型归纳及思路提示】 题型一、直线与圆锥曲线的位置关系 【思路提示】 （1）直线与圆锥曲线有两个不同交点的判定：①联立方程组消元，得到一个一元二次方程，△0；②数形结合，例如直线与双曲线有两个不同交点，可通过直线与双曲线的一条渐近线平行得到。 （2）直线与圆锥曲线有一个交点的判定：数形结合，直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。 【例10.35】已知两点,给出下列曲线方程： ①；②③④； 在曲线上存在点，满足的所有曲线方程是________________(填序号） 变式1 对于抛物线：，我们称满足的点在抛物线内部，若点在抛物线内部，则直线与抛物线的位置关系是________。 变式2 设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有交点，则直线的斜率的取值范围是_______________。 【例10.36】如下图，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于两点。 （1）若，求的值；（2）若为线段的中点，求证与抛物线相切。 【评注】①过抛物线的焦点任作一直线与抛物线交于两点，过两点的切线的交点的轨迹是准线；过抛物线的焦点任作一直线与抛物线交于两点，过两点的切线的交点的轨迹是准线；②两切线；③。 变式1 如下图所示，分别是椭圆的左右焦点，过作轴的垂线交椭圆的上半部分与点，过作直线的垂线交直线于点。求证：直线与椭圆只有一个交点。 题型二、中点弦（对称）问题 【思路提示】此类问题一般有3种类型： （1）求中点弦所在直线的方程问题：（2）求弦中点的轨迹方程问题：（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题，首先要考虑的是点差法。 【例10.37】已知过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程。 变式1 已知椭圆方程为. 求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程； （2）过点的直线与椭圆相交，求被直线截得的弦的中点的轨迹方程。 【例10.38】已知椭圆，过原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为，求证：对任意，都有 变式1 已知曲线，过原点斜率为的直线交曲线于两点，其中在第一象限，且它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点。是否存在，使得对任意，都有若存在，求的值；若不存在，请说明理由。 【例10.38】已知椭圆：，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有两个不同的点关于这条直线对称。 变式1 已知椭圆E经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程； (Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 变式2 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点. ( = 1 \* ROMAN I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积. ( = 2 \* ROMAN II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由. 题型三、弦长与面积问题 【思路提示】与弦长有关的问题中，一般有三类问题： （1）弦长公式： 或； 与焦点有关的弦长计算，利用定义式求解； 涉及到面积的计算问题。 【例10.40】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则________。 变式1 已知椭圆：，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，求的长。 【例10.41】已知椭圆：，过点