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牛顿迭代法基础思想
Newton迭代法的基本思想;它对应的迭代方程为 显然是f(x)=0的同解方程，
故其迭代函数为
在 f(x)=0的根 的某个邻域 内,
在 的邻域R 内，对任意初值 ，应用由公式（1）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.;牛顿法的几何意义;返回;牛顿迭代法的步骤;而 。其中c是取绝对值或相对误差
的控制常数，一般可取c=1。
步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者 则方法失败；否则以 代替 转步二继续迭代。;例题;
例2 计算 的近似值。 ?=10-6 x0=0.88
解： 令x= 问题转化为求?(x)= x2-0.78265=0的正根
由牛顿迭代公式
xk+1= xk-?(xk)/?(xk)= xk/2+0.78265/2xk
迭代结果
k 0 1 2 3
xk 0.880000 0.884688 0.884675 0.884675
满足了精度要求? =0.884675
;返回;2)修正Newton法求m重根迭代公式
注：若 是方程 的m重根，而 在 的
某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具有至少二阶的收敛速度。
因为：
;Tailor展开;牛顿迭代法的优缺点;设?(x )在有根区间 (a,b)上存在二阶导数，且满足
（1）?(a)?(b)0；
（2）?`(x)?0，x?(a,b)；
（3）?``(x)不变号，x?(a,b)；
（4）初值x0 ?(a,b)；且使?(x0)?``(x0)0。
则牛顿迭代序列{xi}收敛于 ?(x)=0 在 (a,b) 内唯一的根。
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