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控制工程基础 （第二章）;第二章 控制系统的动态数学模型;第二章 控制系统的动态数学模型;本章要熟悉下列内容： 1、建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统和电路网络）的数学模型及模型的线性化 2、重要的分析工具：拉氏变换及反变换 3、经典控制理论的数学基础：传递函数 4、控制系统的图形表示：方块图及信号流图 5、受控机械对象的数学模型 6、绘制实际机电系统的函数方块图 7、现代控制理论的数学基础：状态空间模型;2.1 基本环节数学模型; 动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。 对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学模型。 建立数学模型是控制系统分析与设计中最重要的工作！;2.1.1 质量-弹簧-阻尼系统 机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。;;;见光盘课件（第二章第一节）;有源电路网络;2.2 数学模型的线性化; 线性化方法：一般可在系统工作平衡点附近，对非线性方程采用台劳级数展开进行线性化，略去高阶项，保留一阶项，就可得到近似的线性模型。 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。;阀控液压缸例;;;线性化方法：假设变量相对于某一工作状态（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为 简写为 。如果系统的工作平衡点为 ，则方程可以在 点附近台劳展开 如果 很小，可以忽略其高阶项，因此上述方程可???成增量方程形式 其中， ， ，;2.3 拉氏变换及反变换;2.3.2 简单函数的拉氏变换; ; ;周期函数的象函数 设函数x(t)是以T为周期的周期函数，即x(t+T)=x(t)，则证：; 令 则; 拉氏反变换公式为  简写为;在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式 其中，使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。则有其中，;;式中， 是常值， 为极点处的留数，可由下式求得 将式（2.19）拉氏反变换，可利用拉氏变换表得;例 试求 的拉氏反变换。解：;;含共轭复数极点情况;式中， 是常值，可由以下步骤求得将上式两边乘 , 两边同时令 （或同时令 ），得  （2.21）分别令式（2.21）两边实部、虚部对应相等，即可求得 。 可通过配方，化成正弦、余弦象函数的形式，然后求其反变换。;例 试求 的拉氏反变换。解：将该式两边同乘 ，并令 ，;即 解 得 又;故 则;含共轭复根的情况，也可用第一种情况的方法。值得注意的是，此时共轭复根相应两个分式的分子 和 是共轭复数，只要求出其中一个值，另一个即可得到。例 求 的拉氏反变换。解：;则则;含多重极点的情况 ;式中，; 利用拉氏变换解常系数线性微分方程 例 解方程 ，其中，  解： 将方程两边取拉氏变换，得  将 代入，并整理，得 所以 ;2.4 传递函数以及典型环节的传递函数