数学史课件：第6章微积分方法与函数概念的演变.pptVIP

第六章;6.1极限观念;例如, 刘徽以弓形的弦a1为底、高h1的端点为顶点在弓形内作内接等腰三角形，求出其面积△1= a1 h1。再以此三角形的两腰为底作小弓形的内接等腰三角形，每一个小弓形的面积为△2= a2h2。因两小弓形的面积相等，故有2△2= a2 h2。如此类推下去，到第n次就有2n－1△n=2 n－2anhn。把这些三角形的面积加起来，设Sn为其和，则  Sn= 2i—1 △i =2i—2aihi 。刘徽对这个过程指出：“割之又割，使至极细，但举弦矢相乘之数，则必近密率矣”。这可以用极限的方法表示为：设S为弓形面积，就有S =Sn =2i－1△i 。[插如图6.1];6.2 量分割与积分方法;例如,令r为该球体的半径。把这个球的两极直径放在水平x轴上，如图6.1，使北极点N与坐标轴原点重合。作2r×r的矩形NABS和等腰直角△NCS ，其中CS⊥NS。让它们围绕x轴旋转，得到圆柱和圆锥。然后，从这三个立体上切下与N的距离为x、厚度为△x的竖立的薄片，并假设它们是扁平的圆柱体。这些薄片的体积分别近似地为： 球体：πx(2r－x)△x，（若设球片底面半径为R，则R2=r2－（x－r）2=x（2r－x）） 柱体：πr2△x 锥体：πx2△x 把球体和锥体的薄片挂在T点（在这里TN = 2r）上。它们的关于N的组合力矩（一个体积关于一个点的矩，是该体积与此点至此体积重心的距离的乘积）为： [πx(2r－x)△x+πx2△x]2r = 4πr2x△x 这是从柱体上切下来的薄片放在左边与N的距离为x处的力矩的四倍。把所有的这些薄片加到一起，得： 2r [球体体积+圆锥体积] = 4r[圆柱体积]。 即， 2r [球体体积+] = 8πr4. 所以， 球体体积=;6.2.2 开普勒的旋转体体积公式;例如, 设半径为R的圆围绕其所在平面上且与圆心距离为d的垂直轴旋转而形成圆环。开普勒证明了用通过旋转轴的平面，可以把圆环分成无穷多个内侧较薄、外侧较厚的垂直薄圆片，而把每一个薄圆片又分成无穷多个横截面为梯形的水平薄片,进而先推导出每个圆片的体积是 πR2l，其中l =是圆片最小厚度l1与最大厚度l2的平均值，亦即圆片在其中心处的厚度。然后他进一步推算圆环的体积 V = (πR2) = (πR2) (2πd)=2π2R2d。;6.2.3 卡瓦列里的不可分量原理;第一原理:有两个平面片处于两条平行线之间， 在这两个平面片内作任意平行于这两条平行线的直线，如果它们被平面片所截得的线段长度相等，则这两个平面片的面积相等。;实例 对于被置于同一个直角坐标系上的椭圆和圆 = 1（a b）, x2 + y2 = a2, 从上述每一个方程中解出y，得到 y =(a2－x2)1/2, y = (a2－x2)1/2 由此看出：椭圆和圆的对应的纵坐标之比为b/a。这就意味着，椭圆和圆的对应垂直弦之比是b/a；根据卡瓦列里不可分量的第一个原理，有椭圆和圆的面积之比也是b/a。;6.3 微分方法与微积分的互逆性;6.3.1费马方法与圆法;例如，对于抛物线y2 = kx，有y = f (x) = ,则方程 kx +（v－x）2 =r2 有重根的条件为 kx +（v－x）2－r2=(x－e)2. 令等式两边x的系数相等，得k－2v=－2e,即v = e +.代入e = x,于是v－x=k，故而求得抛物线在点（x, ）处的切线斜率是;6.3.2 特征三角形求切线法;巴罗用几何法求切线的思想方法; 莱布尼兹提出了自己的特征三角形并利用它“毫无困难地建立起大量的定理”（莱布尼兹语）。它所得到的第一个定理是：“由一条曲线的法线形成的图形，即将这些法线（在圆的情形就是半径）按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比”。 莱布尼兹在关于特征三角形的研究中认识到：求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值，以及当这些差值变成无限小时它们的比值；而求曲线下的面积时，则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（指纵坐标乘以无限小区间的长度再相加，因而也相当于宽度为无限小的矩形面积之和）。莱布尼兹也看出了这两类问题的互逆关系。并且建立起一种更一般的算法，将以往解决这两类问题的各种结果和技巧统一起来;6.4牛顿的流数术;6.4.1 二项式定理的推广牛顿(1676年)的二项式定理，使用现代的方法它可以表示为 ： =1+Q+;牛顿利用二项式定理论证了称之为“瞬”的无穷小增量（他称之为“瞬”）的思想。;例如，如果平面曲线下的面积（曲边梯形）面积的公式是 则曲线的公式是y =。 事实上，假如横坐标的瞬或无限小增量为o，则新的横坐标是x + o,面积为 Z + oy = a用二项式定理把展开