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第四节 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、奇偶函数周期函数定积分性质 第五章 不定积分与定积分 26-1 基本思路 设 Gu′()= g()u , ux= ?()可导,则有 d[Gx?()]= gx[(? )]?′(x)dx ′ =+Gu() C ∴ ∫ gx[(??)] (x)dx= Gx[(? )]+ C ux=? () = gu()du ∫ ux=? () 第一类换元法 ∫ gx[(??)]′(x)dx ∫ g()uud 第二类换元法 第五章§4 换元积分法 26-2 二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题： f [(??xx)]′()dx= f ()uud ∫ ∫ ux= ?() 难求 易求 第二类换元法解决的问题： ux= ?() ∫ f ()uud ∫ fx[(??)]′(x)dx 难求 易求 第五章§4 换元积分法 26-3 二、第二类换元法 1、不定积分的第二类换元法 定理2 . 设 xt=ψ ()是单调可导函数 , 且 ψ ′()t ≠ 0, f [(ψ tt)]ψ ′()具有原函数 , 则有换元公式 fx()dx= f[ψψ(t)]′(t)dt ∫∫ tx=ψ ?1 () 其中 tx==ψψ?1 ()是 x(t)的反函数 . 第五章§4 换元积分法 26-4 例1. 求 ∫ ax22?d(xa0). π π 解: 令 xa=∈sin t, t(?, ), 则 22 ax22?=a2?a2sin2t= atcos dcxa= ostdt ∴原式 = ∫ atcos ?atcos d t= at22∫ cos d t ttsin 2 =+aC2 + ( 24) a x a2 x 1 = arcsin + xa22?+x C t 2 a 2 ax22? x ax22? sin 2tt= 2sin cos t= 2 ? ? a a 第五章§4 换元积分法 26-5 dx 例2. 求 (0a ). ∫ 22 xa+ π π 解: ??? xa=∈tan t, t(?, ), 则 22 2 xa22+=a2tan2t+a2= atsec dsxa= ectdt at se c 2 ∴原式= d t = sec ttd ∫ atsec ∫