简谐近似和简正坐标、一维单原子链.pptVIP

第三章 晶格振动和晶体的热学性质Lattice vibrations and thermal properties of crystals;晶格中的格点表示原子的平衡位置 晶格振动指原子在格点附近的振动; Einstein 发展了Planck 的量子假说, 第一次提出了量子热容量理论, 得出热容量在低温范围下降, 并在 T→ 0K 时趋于 0 的结论;晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础;§3-1 简谐近似和简正坐标;下脚标 0 标明是平衡位置时所具有的值. 可设 V0=0, 有;体系的势能函数只保留至 μi 的二次方项, 称为简谐近似;引入简正坐标 (normal coordinates);由分析力学的一般方法, 由动能和势能公式可以直接写出拉格朗日函数 L=T－V, 得到正则动量;任意简正坐标的解为;根据经典力学写出的哈密顿量, 可以直接用来作为量子力学分析的出发点, 只要把 pi 和 Qi 看作量子力学中的正则共轭算符;对于其中每一简正坐标有;系统的本征态;§3-1 简谐近似和简正坐标 小 结;§3-2 一维单原子链;单原子链可以看作一个最简单的晶格;这里相互作用能保留到δ2项, 即简谐近似, 在这个近似下，相邻原子间的作用力为;右边第 (n＋1) 个原子与它的相对位移是δ＝μn＋1－μn, 力为－β(μn＋1－μn);每个原子对应有一个方程, 若原子链有 N 个原子, 则有 N 个方程, 上式实际上代表着 N 个联立的线性齐次方程;它与 n 无关, 表明 N 个联立的方程都归结为同一个方程;有完全相同的形式, 其中 ω 是波的圆频率, λ是波长, q = 2π/λ称为波数;如果在 中把 aq 改变一个 2π 的整数倍, 所有原子的振动实际上完全没有任何不同。这表明 aq 可以限制在下面范围内 ;每个原子的位移画在垂直链的方向;问题：q=7π/2a 波与 q=π/2a 的波等价吗？ 不等价;前面所考虑的运动方程只适用于无穷长的链;若环半径很大, 沿环的运动仍旧可以看作是直线的运动;N 就是一维单原子链的自由度数, 这表明已经得到链的全部振动模;色散关系的两点讨论:;当 q 远小于π/a, 相当于波长λa, ω正比于 q, 即;c 就是当把原子链看成弹性链时, 弹性波的波速 当波长很大时，可以把晶格看成连续介质，也就是说这里得到的长波极限正是链的弹性波