第三讲数模-微分方程-讲座.pptVIP

常微分方程理论在数学建模中的应用;1、微分方程的主要适用范围;比如，问题中涉及到：(1) 物体的运动、振动、受力形变；(2) 生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化；(3) 物质、能量的扩散、传递；(4) 消费品在市场上的销售过程；(5) 信息的扩散与传播。;3、方程的阶数;3、方程的阶数;4、建立微分方程模型的依据;5、案例－物体的运动、振动、受力形变;6、案例－生物的数量变化或密度变化;传染病或病毒的扩散，被感染者的数量变化一般可以用下面的模型表示：;这里的不同之处在于，物质或能量是一定的，不会有新的物质或能量产生。比如不考虑重力影响时，空间中不同位置粉尘、烟雾的浓度变化可以用下面的扩散方程描述：; 中心室;8、案例－消费品在市场上的销售过程;在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用，采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。;考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。;求解时滞微分方程;9、微分方程定性分析方法简介;x;x; 希望知道时间充分长以后会如何，即研究事物最终的发展趋势。;比如，前面提到的： (1) 物体的运动、振动、受力形变 (2) 生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化 (3) 物质、能量的扩散、传递 (4) 消费品在市场上的销售过程 (5) 信息的扩散与传播;案例一、传染病模型;模型目标;模型假设;1、SI模型（只考虑S和I两类人） ;构造模型 ;模型求解 ;SI模型图形分析 ;SI模型结果分析 ;1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为μ。;构造模型;模型求解;模型结果分析;1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中所占的比例。s(t)+ i(t)+ r(t) = 1。另外，日接触率λ，日治愈率μ。 ;模型求解;考察随着时间的推移，s(t)、i(t)、r(t)的变化规律。 首先，t →+∞时，分别以s ? , i ? , r?记各自的极限，这些极限都存在。 ;i ? = 0 ?（用反证法） 假设i ? ? 0 ，那么必然有 i ? = ? 0。 根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有i(t)ε/2，把这个结论代入方程组。 ;其次，考虑随着t的变化，i-s平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为： ;i 1 0 1/σ s;1/σ是一个边界点，为了让传染病不蔓延，需要调整s0和1/σ。具体的方法：一是降低s0，如接种疫苗，使S类人群直接变成R类； 二是提高1/σ使之大于s0，σ=λ/μ,也就是降低λ而提高μ，强化卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。 ;对参数σ的估计： 令解两端同时取t→+∞，因为 i ? = 0 ，得到 ;其他类型的传染病模型;数学模型 ? 微分方程稳定性方法建模; 对象仍是动态过程，建模目的变成了时间充分长以后会如何？即研究事物最终的发展趋势。;稳定性模型;事物发展的稳定与不稳定;微分、差分方程稳定性理论简介;一、常微分方程稳定性理论;平衡点稳定的几何特征;一阶微分方程;2、二阶微分方程;二阶微分方程;二阶微分方程;二阶微分方程;3、一阶线性差分方程;4、二阶线性差分方程;5、一阶非线性差分方程;一、两个生物种群的竞争模型;1. 模型的建立;2. 稳定性分析（竞争的结局）;;2.2 平衡点的稳定性 根据前面的方法不能给出各个平衡点全部的稳定性条件。;1、 ?11，?21;O N1 x1;O N1/ ?2 N2 x1;一(2)生物互惠共生模型;第一种情形;平衡点稳定性分析;种群依存模型的平衡点及稳定性;0;模型结果分析;一(3) 食饵-捕食者模型;食饵（甲）数量 x(t), 捕食者（乙）数量 y(t);Volterra模型的平衡点及其稳定性;t ;计算结果（数值，图形）;平衡点稳定性分析;x0;稳定性分析;模型结果分析;模型解释