3一类含间隙弹性约束系统的概周期分岔与混沌形成过程2003兰州大学学报2.doc

PAGE  PAGE 6 一类含间隙弹性约束系统的概周期分岔与混沌形成过程 李万祥，罗冠炜 （兰州交通大学 机电与动力工程学院，甘肃 兰州 730070） 摘　要：通过对一组系统参数的数值仿真，研究了一类单自由度含间隙弹性约束系统的概周期分岔与混沌的形成过程.选择碰撞界面作为Poincaré截面，通过数值计算，证明在单自由度系统中Hopf分岔的存在性.分岔与混沌行为的研究为工业实际中机械系统的优化设计提供理论依据. 关键词：间隙；周期运动；分岔；混沌 中图分类号：O332　　　　　　　　　　　　　　文献标识码：A 0 前 言 在工业生产中，机械设备由于使用过程中产生的磨损以及制造、加工和安装时出现的误差会导致间隙的出现；有些机械设备由于考虑到润滑和热胀冷缩等因素，设计时就要求预留间隙；另外，像齿轮、连杆、滚动轴承等系统的有关零部件中,不可避免地也存在间隙.由于间隙的存在，接触状态会发生变化，导致构件之间出现接触、脱离、再接触、再脱离的重复冲击，对动载荷和系统的动态特性产生不良影响，有时后果还非常严重.当然，有些冲击机械和装置是利用碰撞振动达到预期工作目的的, 如振动压路机、振动夯土机、冲击震动落砂机和浇灌混凝土时的振动捣实等.因此，对于含间隙机械系统和冲击振动系统而言，如何趋利避害、进行动力学优化设计、提高可靠性以及降低噪声等问题的研究，既具有理论价值又有着重大的现实意义.一些根本问题的解决，将不仅推动非线性学科的发展，同时为工程设计提供全新的准则.因此，近年来含间隙系统的研究已引起国内外学者的普遍关注. 碰撞振动问题的研究在理论上提出了一系列新的课题, 形成了非线性动力学研究的一些新的分支.目前, 国内外学者已开始研究碰撞振动系统和含间隙、弹性约束系统的复杂分岔(包括概周期分岔[1])与奇异性[2,3])及混沌控制问题[4]. 随着理论研究的日益深入, 含间隙机械系统及冲击振动系统的应用研究[5,6]也正在迅速开展. 本文通过数值仿真，研究了一类由直齿圆柱齿轮系统建模得到的单自由度含间隙弹性约束系统周期运动的局部分岔及混沌的形成过程，通过选择一个碰撞界面作为Poincaré映射截面，首次证明单自由度含间隙系统中也存在Hopf分岔（内衣马克-沙克分岔）.对其周期运动及分岔特性的研究，为实际工业中含间隙机械系统和冲击振动系统的动力学优化设计提供依据. 1 一类单自由度含间隙弹性约束系统的力学模型 图1所示的系统为一类单自由度含间隙弹性约束系统，它是一种比较典型的分段线性系统，许多含间隙系统动力学的研究都最终划归为对该模型的研究.如图所示，质量为的振子分别由刚度为的线性弹簧和阻尼系数为的线性阻尼器相联接，假设振子在简谐激振力的作用下在光滑的水平上运动.这里取间隙的中点作为坐标原点，水平向右为正方向建立一维坐标系统.当振子位移为(或)时，将会与刚度为的弹性约束(或)接触，经过一定时间改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再与弹性约束(或)接触，如此往复. 图1 单自由度含间隙弹性约束系统的力学模型 系统的运动微分方程可以表示为 (1) 式中 (2) 方程(1)和(2)的无量纲形式为 (3) 式中 (4) 在方程(3)和(4)中，“·”表示对无量纲时间求导数，其中无量纲为 ，， ，，， (5) 2 系统的周期运动及其Hopf分岔 2.1 系统周期运动的Hopf分岔 对应于系统的不同参数，图1所示的冲击副可能处在三种完全不同的冲击状态：无冲击状态、单边冲击状态和双边冲击状态.无冲击状态对应（4）式中或，这时不发生冲击；单边冲击状态对应（4）式中或，这时振动位移仅在一端超过两极刚度的转折点；双边冲击状态时系统位移在两端均超过两极刚度转折点. 选取图1的一组系统参数，，.取激振频率为分岔参数，数值计算系统在[2.6,4.5]内的动态响应，当时，冲击振动系统将发生Hopf分岔.通常有两种方法选择Poincaré截面: 第一种为 ,令， , ；第二种为， .因为冲击振动系统存在由“擦边运动”所造成的奇异性，选择作为Poincaré截面不易观察冲击系统的“擦边运动”，故在本文中，用第二种方法，选择截面建立Poincaré 映射. (a) (b) (c) (d) 图2 投影映射图：(a),光滑的吸引不变圈; (b),变形的吸引不变圈;(