31_直线的倾斜角与斜率_教案3.doc

 PAGE 5 直线的倾斜角和斜率 知识和技能目标 ： （1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 过程和方法目标： 通过启发引导、讨论等方法，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握由直线上两点的坐标求直线的倾斜角和斜率的方法。掌握直线的点斜式方程，会实现直线方程的各种形式之间的互化。 情感价值观目标： （1） 培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力。 （2） 帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 教学重点、难点：直线斜率的概念和公式 教学过程 ： （一）直线方程的概念 一般地，满足函数式的每一对,的值，都是直线上的点的坐标（，）； 反之，直线上每一点的坐标（，）都满足函数式，因此，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的每一对x，y的值为坐标的点构成的． 从方程的角度看，函数也可以看作是二元一次方程，这样满足一次函数 的每一对,的值“变成了”二元一次方程的解，使方程和直线建立了联系． 定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线． 问：你能用充要条件叙述吗？ 答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……． （二）直线的倾斜角 【问题1】 请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同． ； ； 过定点，方向不同． 如何确定一条直线？ 两点确定一条直线． 还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？ 学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度． 【导入 】 今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向． 【问题2】 在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的． 学生：展开讨论． 通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念． 【板书】定义：一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角． （教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）轴的正方向，（3）最小正角．） 特别地，当与轴平行或重合时，规定倾斜角为0°． 由此定义，角的范围如何？ 0°≤α＜180°或0≤α＜π 如图3 至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的． （三）直线的斜率 【问题3】 下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考： 直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？ 学生：在练习本上画出直线，写出方程． 30° ?--à＝ 45° ?--à＝ 135°?--à＝ （注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．） 观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中 系数变化的关系 (1) 直线变化→α变化→中的系数变化 （同时注意α的变化）． (2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化 （同时注意α的变化）． 教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与的系数的关系：倾斜角不同，方程中的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！ 【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作，即 ． 这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴（正方向）倾斜程度的量——斜率． 指出下列直线的倾斜角和斜率： (1) ＝- (2) ＝tg60° (3) ＝tg(-30°) 学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？) 画图，指出倾斜角和斜率． 结合图3，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况． 注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在． α＝0° ?—à ＝0 0°＜α＜90° ?—à ＞0 α＝90° ?--à 不存在 90°＜α＜180°?--à ＜0 （四）直线过两点斜率公式的推导 【问题4】 如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 ＝tgα求出直线的斜率； 如果给定直线