2015步步高高中数学理科文档第十四章141.docVIP

§14.1　几何证明选讲 1．平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 3．直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． 4．圆周角定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 5．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质 定理1：圆的内接四边形的对角互补． 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)判定 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 6．圆的切线的性质及判定定理 (1)性质 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． (2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 7．弦切角的性质 定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 8．与圆有关的比例线段 (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 1． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝30°，则∠D＝________. 答案　120° 2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，DE∥AC，EF⊥BC，eq \f(BE,EA)＝ eq \f(3,2)，BD＝6，则FC＝________. 答案　eq \f(32,5) 解析　由DE∥AC，eq \f(BE,EA)＝eq \f(3,2)，BD＝6知DC＝4. 又EF∥AD， 故eq \f(6－FD,FD)＝eq \f(3,2)，解得FD＝eq \f(12,5)，故FC＝FD＋DC＝eq \f(32,5). 3．如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝________. 答案　eq \f(5,2) 4．如图，圆上的劣弧eq \x\to(CBD)所对的弦长CD＝eq \r(3)，弦AB是线段CD的垂直平行线，AB＝2，则线段AC的长度为________． 答案　eq \r(3) 解析　依题意，弦AB为圆的直径，设圆心为O，CD与AB相交于点E，如图，连接CO，则OE＝eq \r(OC2－CE2)＝ eq \r(1－?\f(\r(3),2)?2)＝eq \f(1,2)，∴AE＝AO＋OE＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，∴AC＝eq \r(AE2＋CE2)＝eq \r(?\f(3,2)?2＋?\f(\r(3),2)?2)＝eq \r(3). 5．(2012·湖南)如图所示， 过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________． 答案　eq \r(6) 解析　设⊙O的半径为r(r0)， ∵PA＝1，AB＝2， ∴PB＝PA＋AB＝3. 延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r. 设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r. 由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC， ∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝eq \r(6). 题型一　平行线分线段成比例定理的应用 例1　如图，△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A 作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F，交AH与H.如果AB＝4AF，EH＝8，则DF的长为________． 答案　2 解　∵AH∥BE，∴eq \f(HF,HE)＝eq \f(