2015步步高高中数学理科文档第十章103.docVIP

§10.3　二项式定理 1．二项式定理 (a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq \o\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Ceq \o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Ceq \o\al(k,n)an－kbk. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，一直到Ceq \o\al(n－1,n)，Ceq \o\al(n,n). 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n). (2)增减性与最大值：二项式系数Ceq \o\al(k,n)，当keq \f(n＋1,2)时，二项式系数是递增的；当keq \f(n＋1,2)时，二项式系数是递减的． 当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大． 当n是奇数时，那么其展开式中间两项和 的二项式系数相等且最大． (3)各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(k,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋…＝Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝2n－1. 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Ceq \o\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项． (　×　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项． (　×　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． (　√　) (4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项． (　×　) 2．(eq \r(x)－eq \f(2,\r(x)))6的展开式中常数项是 (　　) A．－160 B．－20 C．20 D．160 答案　A 解析　二项式的通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,6)(eq \r(x))6－k(－eq \f(2,\r(x)))k＝(－2)kCeq \o\al(k,6)xeq \f(6－k,2)eq \f(1,x\f(k,2))＝(－2)kCeq \o\al(k,6)x3－k， 令3－k＝0， 得r＝3，所以常数项为T3＋1＝(－2)3Ceq \o\al(3,6)＝－160. 3．在(eq \f(x,2)－eq \f(1,\r(3,x)))n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 (　　) A．－7 B．7 C．－28 D．28 答案　B 解析　由题意有n＝8，Tk＋1＝， k＝6时为常数项，常数项为7. 4．已知Ceq \o\al(0,n)＋2Ceq \o\al(1,n)＋22Ceq \o\al(2,n)＋23Ceq \o\al(3,n)＋…＋2nCeq \o\al(n,n)＝729，则Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)等于 (　　) A．63 B．64 C．31 D．32 答案　A 解析　逆用二项式定理得Ceq \o\al(0,n)＋2Ceq \o\al(1,n)＋22Ceq \o\al(2,n)＋23Ceq \o\al(3,n)＋…＋2nCeq \o\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n＝729