2015年步步高二轮复习专题七第2讲概率随机变量及其分布.docVIP

第2讲　概率、随机变量及其分布 考情解读　1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的分布列、期望(均值)、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看，三种题型都有可能出现，选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的分布列等，都属于中、低档题． 1．随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率 P(A)＝eq \f(m,n)＝eq \f(A中所含的基本事件数,基本事件总数). (3)几何概型的概率 P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度?面积或体积?,试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?). 2．条件概率 在A发生的条件下B发生的概率： P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?). 3．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 4．独立重复试验 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 5．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n. 6．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi的概率为P(X＝xi)＝pi，则称下表： Xx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn为离散型随机变量X的分布列． (2)离散型随机变量X的分布列具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)． (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望(简称期望)． D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做随机变量ξ的方差． (4)性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； ②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； ③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 7．正态分布 若X～N(μ，σ2)，则正态总体在三个特殊区间内取值的概率 ①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.997 4. 热点一　古典概型与几何概型 例1　(1)在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是________． (2)(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(7,8) 思维启迪　(1)符合古典概型特点，求4个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的2倍的方法数；(2)由几何概型的特点，利用数形结合求解． 答案　(1)eq \f(1,4)　(2)C 解析　(1)任取两个数字(可重复)共有4×4＝16(种)排列方法，一个数字是另一个数字的2倍的所有可能情况有12、21、24、42共4种，所以所求概率为P＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4). (2)如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤4,0≤y≤4,|x－y|≤2))，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝eq \f(S正方形－2S△ABC,S正方形)＝eq \f(4×4－2×\f(1,2)×2×2,4×4