2015年新课标高考数学题型全归纳正余弦定理例题解析.docVIP

PAGE  学优100网： 正余弦定理例题解析 例1．在△ABC中，如果a＝18，b＝24，A＝，则此三角形解的情况为( B ). A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不确定 解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选B 例2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝，则c等于( C ). A. 2 B. C. 2或 D. 以上都不对 解： 由 bsinA＜a＜b 故 有两解 选C 例3．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是( B ). A. B. C. D. 解：设a＝3k，b＝5k，c＝7k，由余弦定理易求得cosC＝-，所以最大角C为. 例4．(1) 在△ABC中，若B＝，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是_____. (2) △ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是_____. 解：(1) sinC＝，于是C＝或，故A＝或， 由S△ABC＝可得答案2或. (2) 如图所示，由已知得BC＝2AB，又 ∴ sinC＝≤ 又∵ 0＜C＜A ∴ 0＜C≤ 例5．在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A＝2absinC ???明：由正弦定理知 故原式成立. 例6．在锐角三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，记 求证：S＜1 证明： ∵ ∵ ，∴ ，∴ cotB＜tanA即＞1，∴ S＜1. 例7．在△ABC中，如果lga-lgc＝lgsinB＝-lg，且B为锐角，判断此三角形的形状. 解：由lga-lgc＝lgsinB＝-lg，得 sinB＝， 又B为锐角，∴ B＝，又 得， ∴ sinC＝2sinA＝2sin(-C)， ∴ sinC＝sinC+cosC， ∴ cosC＝0 即C＝， 故此三角形是等腰直角三角形. 例8．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边. ① 若△ABC面积为，c＝2，A＝，求b，a的值. ② 若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论. 解：① 由已知得，∴ b＝1. 由余弦定理a2＝b2+c2-2bccosA＝3，∴ a＝. ② 由正弦定理得：2RsinA＝a，2RsinB＝b， 2RsinAcosA＝2RsinBcosB 即sin2A＝sin2B， 由已知A，B为三角形内角，∴ A+B＝或A＝B， ∴△ABC为直角三角形或等腰三角形. 例9．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2, AC＝，∠BAD＝，求梯形的高. 解:作DE⊥AB于E， 则DE就是梯形的高. ∵ ∠BAD＝， ∴ 在Rt△AED中，有DE=AD ＝，即 DE＝AD. ① 下面求AD(关键)： ∵ AB∥CD，∠BAD＝， ∴ 在△ACD中，∠ADC＝， 又∵ CD＝2, AC＝，∴ 即 解得AD＝3，(AD＝-5，舍). 将AD＝3???入①， 梯形的高 例10．如图所示, 在△ABC中，若c＝4, b＝7，BC边上的中线AD＝, 求边长a. 解：∵ AD是BC边上的中线，∴ 可设CD＝DB＝x. ∵ c＝4, b＝7, AD＝, ∴ 在△ACD中，有 在△ACB中，有∴ ∴ x＝, ∴ a＝2x＝9.