2013高中数学技能特训87圆锥曲线的综合问题(理)（人教B版）含解析.doc

8-7圆锥曲线的综合问题(理) 基础巩固强化 1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是(　　) A．3x＋2y－4＝0　　　　　 B．4x＋6y－7＝0 C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0 [答案]　B [解析]　依题意得e＝eq \f(1,2)，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，eq \f(1,2))的连线的斜率为eq \f(2－\f(1,2),2－1)＝eq \f(3,2)，则所求直线的斜率等于－eq \f(2,3)，所以所求直线方程是y－eq \f(1,2)＝－eq \f(2,3)(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B. 2．(2012·大连部分中学联考)已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 [答案]　B [解析]　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的焦点F(eq \f(p,2)，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq \f(p,2)，即x＝y＋eq \f(p,2)，将其代入y2＝2px＝2p(y＋eq \f(p,2))＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以eq \f(y1＋y2,2)＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B. 3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则eq \o(PA1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))的最小值为(　　) A．－2 B．－eq \f(81,16) C．1 D．0 [答案]　A [解析]　由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则eq \o(PA1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即eq \o(PA1,\s\up16(→))·eq \o(PF2,\s\up16(→))取最小值，最小值为－2. 4．(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A、B两点，则cos∠AFB＝(　　) A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5) [答案]　D [解析]　方法一：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2x－4.)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2.))不妨设A在x轴上方， ∴A(4,4)，B(1，－2)， ∵F点坐标为(1,0)，∴eq \o(FA,\s\up16(→))＝(3,4)，eq \o(FB,\s\up16(→))＝(0，－2)， cos∠AFB＝eq \f(\o(FA,\s\up16(→))·\o(FB,\s\up16(→)),|\o(FA,\s\up16(→))|·|\o(FB,\s\up16(→))|)＝eq \f(－8,5×2)＝－eq \f(4,5). 方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝3eq \r(5)，|AF|＝5，|BF|＝2， 由余弦定理知， cos∠AFB＝eq \f(|AF|2＋|BF|2－|AB|2,2·|AF|·|BF|)＝－eq \f(4,5). 5．设F是抛物线C1：y2＝2px(p0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a0，b0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为(　　) A．2 B.eq \r(3) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \r(5) [答案]　D [解析]　由题意可知，抛物线C1的焦点为F(eq \f(p,2)，