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2013高中数学技能特训84椭圆(人教B版)含解析
8-4椭圆
基础巩固强化
1.(2011·东莞模拟)设P是椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(y2,16)=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
A.4 B.5 C.8 D.10
[答案] D
[解析] ∵a2=25,∴a=5,∴|PF1|+|PF2|=2a=10.
2.“mn0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵方程mx2+ny2=1,即eq \f(x2,\f(1,m))+eq \f(y2,\f(1,n))=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴需有:eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,m)0,,\f(1,n)0,,\f(1,m)\f(1,n).))
∴mn0,故互为充要条件.
3.(文)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2,焦点为F1、F2,若四边形B1F1B2F2是正方形,则这个椭圆的离心率e等于( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.以上都不是
[答案] A
[解析] 画出草图(图略),根据题意可得e=eq \f(c,a)=cos45°=eq \f(\r(2),2),故选A.
(理)(2012·新课标全国,4)设F1、F2是椭圆E:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=eq \f(3a,2)上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
[答案] C
[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法.
设直线x=eq \f(3a,2)与x轴交于点M,则由条件知,∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2M=60°,
在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=eq \f(3a,2)-c,
故cos60°=eq \f(F2M,PF2)=eq \f(\f(3,2)a-c,2c)=eq \f(1,2),
解得eq \f(c,a)=eq \f(3,4),故离心率e=eq \f(3,4).
[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用,在图形中设法寻求a、c所满足的数量关系,从而确定离心率的值.
4.(文)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆eq \f(x2,16)+eq \f(y2,25)=1的焦点分别是F1、F2,P是椭圆上一点,若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是( )
A.eq \f(16,5) B.3
C.eq \f(16,3) D.eq \f(25,3)
[答案] A
[解析] F1(0,-3),F2(0,3),∵34,
∴∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°.
设P(x,3),代入椭圆方程得x=±eq \f(16,5).
即点P到y轴的距离是eq \f(16,5).
(理)(2012·抚顺质检)椭圆eq \f(x2,4)+y2=1的左、右焦点为F1、F2,点M在椭圆上,eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))=0,则M到y轴的距离为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \f(2\r(6),3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
[答案] B
[分析] 条件eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))=0,说明点M在以线段F1F2为直径的圆上,点M又在椭圆上,通过方程组可求得点M的坐标,即可求出点M到y轴的距离.
[解析] 解法1:椭圆的焦点坐标是(±eq \r(3),0),点M在以线段F1F2为直径的圆上,该圆的方程是x2+y2=3,即y2=3-x2,代入椭圆得eq \f(x2,4)+3-x2=1,解得x2=eq \f(8,3),即|x|=eq \f(2\r(6),3),此即点M到y轴的距离.
解法2:由eq \o(MF1,\s\up16(→))·eq \o(MF2,\s\up16(→))=0知,MF1⊥MF2,
∴eq \b\lc\{\rc\
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