2012年高考试题分类考点37空间直角坐标系空间向量及其运算.docVIP

PAGE  PAGE - 4 - 考点37 空间直角坐标系、空间向量及其运算 一、解答题 1.（2012·北京高考理科·Ｔ16）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. 求证：A1C⊥平面BCDE； 若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； 线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由. A B C D E C B E D A1 M 图1 图2 【解题指南】（1）利用线面垂直的判定定理证明；（2）（3）找出三个垂直关系，建系，利用向量法求解. 【解析】（1），， 又. （2）由（1）可知，两两互相垂直，分别以它们为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则, ，设平面的法向量为， 由，令，得， 设所求线面角为，则，， ，. （3）假设存在这样的点P，设点P的坐标为(m,0,0)，3, , , 设为平面的法向量，由， 令，得， 又垂直，，解得（舍去）. 所以不存在点P. 2.（2012·辽宁高考理科·T18）如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点. (Ⅰ)证明：∥平面; (Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值. 【解题指南】（1）由中点联想到中位线，据中位线和底边平行，解决问题； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求的值 【解析】（1）连接,由已知得M为的中点，又N为的中点，所以MN为三角形的中位线，故∥,又 因此 （2）以A为坐标原点O，分别以直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设，则,从而 所以 设是平面的一个法向量，由得 取，则，故 设是平面的一个法向量，由得 取，则，故 因为为直二面角，所以. 3.（2012·天津高考理科·Ｔ17） 如图，在四棱锥中，丄平面，丄，丄，∠BCA ，. (Ⅰ)证明丄； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）设E为棱上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为，求AE的长. 【解题指南】建立空间直角坐标系应用空间向量证明垂直关系、求空间角较简捷. 【解析】方法一：如图， 以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B，P（0,0,2）， （Ⅰ）易得于是，所以PC⊥AD. （Ⅱ）设平面PCD的一个法向量则 不妨令，可得，可取平面PAC的一个法向量，于是 从而所以二面角A-PC-D的正弦值为. （Ⅲ）设点E的坐标为（0,0,h）,其中，由此得由故， 所以，解得，即.