第1章§4函数的连续性-浙江大学.doc

2013学年 秋学期 厚德载学 慎思笃行 PAGE  第 PAGE 33页 浙江大学丹青学业指导中心  资 料 白 皮 书 科目：微积分一（期中版） 出版单位：丹青学业指导中心 出版时间：2013年11月 第一章 函数与极限 §1 函数 §1.1函数的概念 重点基础知识 1.函数的三种表示方式：表格法，图像法，公式法 2.常用函数： ·取整函数 ·符号函数 ·狄利克雷函数 3.复合函数： 注意：判断两个函数能不能构成复合函数，只要看其定义域为不为空集。 4.反函数 注意点：两个函数若互为反函数，则这两个函数的图像关于直线y=x 对称 5.基本初等函数 常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 y=arcsin x ,x∈[-1,1] y=arccos x , x∈[-1,1] y=arctan x , x∈R ， 注意：将三角函数图像画在纸面上，翻过页面后，以y为x，x为y得反三角函数 6.初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数，成为初等函数。例，多项式函数；有理（分式）函数；凡不是初等函数的皆称为非初等函数，分段函数一般不是初等函数，但是初等函数。 二．经典例题 例1.设. 解析：多次复合一般具有规律性，可以先找出规律，后归纳分析。 解： ， ， 猜想 。 当n=1时，结论已成立，假设n=k时，成立，当n=k+1时， 。 即n=k+1时结论成立，故。 例2.求的反函数 解析：观察此式，均为三分之一次幂，很显然两边求立方会出现原来的项，可用y代换，达到目的。 解：由 两边立方得 即 解之 。 所以反函数为 §1.2 函数的简单性质 一、主要性质 ·增减性（单调性） ·奇偶性：任何函数都可以写成奇函数与偶函数的和。 ·周期性 （狄利克雷函数是周期函数，但是没有最小正周期。） ·有界性 判断下列函数是否有界： （1）； 解（1）由f(x)的定义域是R。 当，当， 知，所以f(x)为有界函数。 §2 数列极限 §2.1数列极限的概念 一、极限的定义 ε＞0,N＞0,当n＞N时,都有|an－a|＜ε,则an＝a. 二、性质及定理 ·性质1(唯一性) 若数列{an}的极限存在,则极限值是唯一的. 分析：如果不唯一,即有an＝a,bn＝b,a≠b.由|a－b|＝|a－an＋an－b|≤|a－an|＋|an－b|＝|an－a|＋|an－b|＜ε＋ε＝2ε,要想推出矛盾,只要ε＜即可. ·定理1: 改变数列的有限项,不改变数列收敛性与极限. 三、怎样用ε－N定义验证数列极限存在 1.直接证明 我们要证明an＝a,只要证明任给ε＞0,存在N,当n＞N时,都有|an－a|＜ε,关健是从|an－a|＜ε中，解出n＞f(ε),取N＝f(ε),当n＞N时,有|an－a|＜ε,这是中学时常用的方法,注意f(ε)中只能含有ε，不能含有n. 例.证明＝0 (K＞0常数) *表示重要极限. 证：ε＞0,若要|－0|＜ε＜εnK＞n＞().取N＝(),当n＞N时,都有|－0|＜ε,所以＝0. 2.适当放大法(间接证明)  在用适当放大法时，我们要求 ⅰ)放大以后的g(n)要尽可能简单,从g(n)＜εn＞f(x)容易解； ⅱ) g(n)＝0; 例. 证明＝0,a是常数. 证：1)a＝0时,显然＝0＝0. 2)a≠0,设|a|＜m，m是自然数,是常数.设·…＝K是常数,则|－0|＝·…·…·＜(n＞m),只要＜εn＞,取N＝max{m,},当n＞N时,有|－0|＜ε,∴＝0. 方法：有时从|an－a|直接放大不容易,我们可借助于其它公式如二项式定理及各种不等式的技巧来达到放大的目的. 例. 证明＝1. 证：ε＞0,若要||＜ε,设|－1|＝－1＝hn,n＝(1＋hn)n,n＝1＋nhn＋h２n＋…＞1＋h２n，h２n＜,hn＜,即|－1|＜,只要＜ε＜ε2n＞,取N＝,当n＞N时,都有|－1|＜ε,∴＝1. §2.2 收敛数列的性质 概念梳理 性质1（唯一性）：若数列{}的极限存在，则极限是唯一的。 性质2（有界性）：若数列{}收敛，则{}为有界数列，即存在某正常数M，使得对一切正数，都有｜｜≤M 【几何表现】数轴上对应于有界数列的点 都落在闭区间上 【注意】逆命题不成立；有界列不一定收敛. 数列有界是收敛的必要条件