授课题目常系数线性方程的解法授课类型理论课首次授课时间2011年.doc

PAGE  PAGE 14 授课题目常系数线性方程的解法授课类型理论课首次授课时间 2011年 4月 25日学时4教学目标掌握齐次、非齐次方程及Euler方程的解法，培养学生解决复杂问题的能力重点与难点重点：常系数齐次、非齐次方程的求解，Euler方程 难点：齐次、非齐次方程的理论部分，非齐次方程的求解教学手段与方法讲授与实例相结合教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）㈠授课思路： 讲授复值函数复值解，为常系数齐次方程的求解做准备，然后讲授常系数齐次方程的解法及欧拉方程，最后讲授两种特殊形式的常系数非齐次方程的解法。 ㈡过程设计 ⒈稳定课堂秩序，组织教学； ⒉引入新课； ⒊讲授新课 ⒋课堂练习与讨论 ⒌课堂??结与布置作业 ㈢讲解要点及各部分具体内容 从上一节可知，线性方程的通解得结构问题，从理论上来说，已经解决了，但还没有给出求通解的具体方法。事实上，一般的线性方程没有普遍的解法，但常系数线性方程的求解问题已经彻底解决。 本节将介绍常系数线性方程及可化为这一类型的方程的求解问题。 一、复值函数与复值解 1. 复值函数的定义 如果对于上的每一个实数，有复数与它对应，其中，在上有定义的实函数，为虚数单位，我们说在上给定了一个复值函数。 2. 在某点的极限：若实函数，当趋于时有极限，就称复值函数当时有极限，且 3. 在连续：如果，我们就称在连续。当在区间上每一点都连续时，就称在区间上连续。 4. 1)在可导：如果存在，就称在可微，记作或。 存在，存在，且 当在区间上每一点都导数时，就称在区间上可微，且 。 2）性质 显然,在连续相当于和在连续。 设和是定义在上的可微函数，c是复值常数，容易验证下列公式成立： 5. 复值函数的定义及性质，其中为复值常数。 1）定义 设是任一复数，这里a和b是实函数，而t为实变量，我们定义 由上述定义立即推得： 如果以K=a-ib表示复数K=a+ib的共轭复数，那么容易证明 2）性质 注：实变量复值函数与实变量实值函数求导公式类似，复值函数具有与实指数函数完全类似的性质。 6. 复值解 定义在区间上的实变量复值函数称为方程(4.1)的复值解，如果 7. 两个简单结论 定理9 如果方程 的解。 二、阶常系数齐线性方程和Euler方程 1. 当（4.2）中所有系数都是常数，即 它的求解问题可以归结为代数方程求根问题,现在就来具体讨论方程(4.19)的解法. ? 首先，研究一个简单的一阶方程??????????????????????????????????????????????????（4.20）其中a是常数，不难求出它有特解??????????????????????????? ???比较(4.19)与(4.20)，我们可以猜想方程(4.19)也有形如??????????????????????????????????????????????????????（4.21）的解，其中λ是待定常数.将(4.21)代入(4.19)中得到????????????? 其中 是l的n次多项式.易知,(4.20)为方程(4.19)的解的充要条件是: （4.22） 的根。因此，方程（4.22）将其着预示方程(4.19)的解的特征性的作用,我们称它为方程(4.19)特征方程,他的根就称为特征根.下面根据特征根的不同情况分别进行讨论. 1)特征根是单根的情形 是特征方程(4.21)的n个彼此不相等的根,则相应地方程(4.19)有如下个解: 由于 而最后一个行列式是著名的范德蒙(Vandermonde）行列式，它等于 从而线性无关。 ①若均为实数，则是方程（4.19）的n个线性无关的实值解， 而方程（4.19）的通解可表示为，其中为任意实数。 例1 求方程??????????????????????????????y″－5y′+ 6y＝0的通解及满足初始条件：当x = 0时，y = 1, y′＝2 的特解.????解 特征方程为?????????????????????????????? 特征根为，故所求通解为??????????????????????????? 其中为任意常数.????将初始条件代入方程组????????????????????????得?????????????????????????由此解得C2＝0，C1＝1. 因而所求特解为????????????????????????????? 例2 求方程??????????????????????????????y″－5y′= 0