用整体思想分解因式.docVIP

用 整 体 思 想 分 解 因 式 湖北 杨育颖 所谓整体思想就是在解题时，不是着眼于问题的局部，而是有意识放大考虑问题的“视角“，从大处着眼由整体入手，把一些看似彼此独立实质上紧密相联的量作为整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，整体与局部的内在联系来解决问题．应用这一种数学思想方法，尤其是在因式分解的过程中，可使解题思路清晰，解法简捷，从而达到化繁为简， 化难为易的目的，现举例说明整体思想在因式分解中的应用，以供同学们参考： 一、整体提公因式 例1、因式分解： 分析：把改写成，实际上，同时改变积中两个因式的符号时其值不变，因此，可以把看作一个整体，那么多项式的公因式就为． 解： 例2、因式分解： 分析：对于有括号的多项式，因式分解时，不要急于将括号展开，要仔细观察式子的特点，有时不去掉括号，直接分解因式更方便些，如此题可把看作一个整体，则多项式的公因式就为． 解： 二、整体用公式 例3、因式分解： 分析：若把和看作一个整体，则可看作两项，它符合平方差公式的条件，故可以用整体思想来因式分解． 解： 例4、因式分解： 分析：若把和看作一个整体，则看作三项，它符合完全平方公式的特点，故可用整体思想来简化其解题过程． 解： 整体求解 例5、已知：求的值． 分析：这类问题一般不适合解方程组求得的值，再代入代数式中计算求值，比较简便而常用的方法是先对所给的代数式进行分解因式，使之出现的式子，再整体代入求值． 解：因为 所以 例6、解方程 分析：把看作一个整体，先分解因式，则方程左边的多项式就可提取公因式，然后再解方程． 解：因为 所以 所以 所以 所以 四、整体判断 例7、已知是△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状． 分析：要判断△ABC的形状，则需要找出三边关系，根据所给的条件，可将看作一个整体作为的公因式进行因式分解，从而可发现之间的关系． 解：因为 所以，即， 根据三角形三边关系可知＞0，所以， 所以，所以△ABC为等腰三角形． 例8、已知是△ABC的三边，试判断：的正负性． 分析：若把和视作为整体，则可以看作为两项，它符合平方差公式的条件，由此可想到利用平方差公式分解因式，然后再利用三角形的三边关系，从而是问题得以解决． 解： 因为是△ABC的三边，所以＞0，＞0，＞0，＜0，所以＜0，即＜0．