台北市立建国高级中学第六十八期通讯解题解答与评析.doc

PAGE  PAGE 5 台北市立建國高級中學第六十八期通訊解題解答與評析 6801 3901 38011 甲乙二人玩如下的遊戲：甲從集合中任取一個數，乙向甲問一連串的問題，其中每個問題都是下述類型：「你所選取的數在不在某個子集中？」，甲只能回答在或不在，而且甲至多只能說一次謊。求證： (1)乙只須共提個問題，在得到甲的回答後，便能斷定甲所選定的那個元素； (2)為了總能斷定甲所選的數，乙只能提個問題是不夠的。 【解答】 (1) 乙只須向甲提下列個問題，便可斷定甲所選定的數。 你所選取的數在不在子集中？ 你所選取的數在不在子集中？ 你所選取的數在不在子集中？ 你所選取的數在不在子集中？ 你所選取的數在不在子集中？ 我們將甲的所有不同回答列表於下(全沒說謊或只有一題說謊等6種情形)，其中文字未加上框線(在或不在)表示未說謊、文字加上框線(在或不在)表示那題回答說謊。可知，表中所列出的甲的24組答案互不相同，所以乙可從甲的答案而斷定甲所選的數。 甲所選之數問題1：問題2：問題3：問題4：問題5：1在在在在在1不在在在在在1在不在在在在1在在不在在在1在在在不在在1在在在在不在2在在不在不在不在2不在在不在不在不在2在不在不在不在不在2在在在不在不在2在在不在在不在2在在不在不在在3不在不在在在不在3在不在在在不在3不在在在在不在3不在不在不在在不在3不在不在在不在不在3不在不在在在在4不在不在不在不在在4在不在不在不在在4不在在不在不在在4不在不在在不在在4不在不在不在在在4不在不在不在不在不在(2) 如果乙只提4個問題，由於每個問題的答案只有在和不在兩種，對4個問題的所有不同的答案只有16種。 另一方面，當甲選定一數時，甲對4個問題的答案共有5種不同情形(全沒說謊或只有一題說謊等5種情形)，所以甲對乙的4個問題的回答共有20種可能的答案，但乙此時無法確定甲所選定的數。 【評析】 台中市居仁國中張庭同學、台中市居仁國中郭育丞同學、桃園市新興國中陳宗蔚同學等以數形圖概念列出對於提出問題後各種可能回答情形，並完整討論，邏輯觀念正確。有些同學符號使用不夠明確，較為可惜。 更完整的討論，需要說明只提4個問題時，則不能斷定甲所選的數。 6802 3901 38011 阿里巴巴試圖潛入山洞，在山洞入口處立著一面鼓，鼓的側面有4個孔，在每個孔的裡面靠近孔口處各裝有一個開關，開關有上和下兩種狀態。如果4個開關的狀態全都一致，洞門即可打開。每回允許將手伸入任意兩個孔，觸摸開關以了解其狀態，並可隨意改變或不改變其狀態。但每當這樣做了之後，鼓就飛快地轉動起來，以至在停轉之後無法確認剛才觸動了哪些開關。現允許重複這種步驟5回(10次)，求證阿里巴巴必能進入山洞。 【解答】 第l回： 將一對相鄰開關扳為上。 第2回： 再將一對相對開關扳為向上，於是4個開關中至少有3個向上，如果洞門沒有打開，就說明第4個開關處於狀態下。 第3回： 將手伸進相對的兩個孔，如果碰到向下的開關，則把它扳向上方，即可進入山洞；如果碰到兩個向上的開關，則把其中之一扳為向下。這樣，4個開關中兩個相鄰的開關向上，另兩個相鄰的向下。 第4回： 將手伸進兩個相鄰的孔中，如果遇到的兩個開關狀態相同，他就扳動它們，即可打開洞門；如果遇到的兩個開關狀態不同，則也同時扳動它們。於是4個開關中相對兩個狀態相同。 第5回： 只要將手伸進一對相對孔中扳動開關就可以進洞了。 【評析】 台中市居仁國中張庭同學、台中市居仁國中廖俊杰同學、台北市民生國中姚驜庭同學等找出解決方法，並依序討論其過程，邏輯觀念正確。 6803 3901 38011 在正方形內任取一點，連，在外分別以為邊作正方形和，連，證明：。 【解答】 連。 (1) ∵均為正方形 ∴，且, ∴ (2) ∴ 但與中 ∵ ∴ ∴ (3) 由知四邊形是平行四邊形 ∴ A B C D M N G E F 【評析】 台北市天母國中謝鎮林同學、台中縣光德國中陳和謙同學、台中市居仁國中郭育丞同學、高雄縣鳳西國中吳孟哲同學、台北市民生國中陳士鈞同學、台中市居仁國中廖俊勛同學、台中市居仁國中張庭同學、台北市民生國中姚驜庭同學、桃園市新興國中陳宗蔚同學、台北市龍門國中謝君宜同學、台中市居仁國中林鈺皙同學等利用三角形全等的概念證明，回答完整，值得鼓勵。但在證明的書寫過程中，若能分段討論，使更容易閱讀，同學將進