华东师范大学期中期末试卷（A）（简明答案）.doc

PAGE  PAGE 3 华东师范大学期中/期末试卷（A）(简明答案) 2007 —2008 学年第一学期 课程名称：实变函数 学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：___________________ 年级/班级：__________________ 课程性质：专业必修 一二三四五六七八总分阅卷人签名………………………………………………………………………………………… 一.判别题(每题2分,共20分) 设在上单调增,则的不连续点是可数的. 不可数个闭集的交集仍是闭集. 设是一列可测集,且则 任意多个可测集的交集是可测集. 若在上可测,则存在型集,在上连续. 若在上几乎处处有限,几乎处处收敛于几乎处处有限的则存在闭集,在上一致收敛于. 是上勒贝格可积函数. 若是上单调增连续函数,且几乎处处成立,则为常值函数. 若是上单调严格增绝对连续函数,在满足李普西茨条件,则是上绝对连续函数. 设在上可积,其中是上连续函数,则 二.(12分) 若在可测集上,. 求证:在上, 三. (12分) 设在上可积,. 求证:(1) (2) 四. (12分) 若是一列上有界变差函数,且 求证:是上有界变差函数. 五. (12分) 设是可测集,是内的一列可测子集. 求证： (1)在上一致收敛于的充分且必要条件是: (2)的充分且必要条件是: 六. (12分) 设在上可积, 求证:(1)在上可积,;(2). 七. (10分) 设是一列可测集上可积函数,在上几乎处处成立,且 .是一列上可测函数,在上几乎处处成立,且. 求证: . 八.(10分) 设是可测集,是内的一列可测子集. 仿第五题 (1) 给出在上几乎处处成立的充分且必要条件，并证明; (2) 给出在上“基本上”一致收敛于的充分且必要条件，并证明.