利用基本不等式求函数最值.doc

利用基本不等式求函数最值 授课类型：习题课 【教学目标】 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值； 2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值； 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神。 【教学重点】 掌握基本不等式，会用此不等式求某些函数的最值。 【教学难点】 利用此不等式求函数的最大、最小值。 【教学过程】 一、要点回顾（让学生独立填写，教师再次强调） 1.基本不等式 如果都是正数，那么 ，当且仅当 时，等号成立，称上述不等式为基本不等式. 2.利用基本不等式求最值 已知都是正数， （1）如果和是定值，那么当时，积有最大值 . （2）如果积是定值，那么当时，积有最小值 . 概括来说，利用不等式求最值时一定要注意三个前提条件，这三个条件可以概括为 ， ， . 二、例题选讲 例1：当时，求的最大值.（让学生先思考，然后辅助分析） 分析：利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，因此我们要考虑其和是否为定值。发现和的和为，恰好是定值。 解： 当且仅当时，即时，有最大值为. 变式1：当时，求的最大值.（学生思考交流完成，适当辅助） 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。 变式2：设，求函数的最大值．（学生完成） 解：∵∴∴ 当且仅当即时等号成立。 例2：已知，求的最小值.（凑项，学生思考，教师辅助） 解：∵x2，∴x－20， ∴f(x)＝x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(?x－2?·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．所以的最小值为6. 练习：已知，求的最小值. （学生独立完成） 解：∵x2，∴x－20， ∴ 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．所以的最小值为8. 变式：已知，求的最小值．（学生比较难想到，教师适当辅助） 分析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。 解： ∵x2，∴x－20，. 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．所以的最小值为8. 练习：已知，求求的最大值．（学生独立完成） 解： 当且仅当时，即时，有最大值9. 备用 思考：本例中的条件“”改为“”，求的最大值． 解：∵x2，∴2－x0 （调号，学生思考，适当辅助） ∴f(x)＝x＋eq \f(4,x－2)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?2－x?＋\f(4,2－x)))＋2≤－2eq \r(?2－x?·\f(4,2－x))＋2＝－2. 当且仅当2－x＝eq \f(4,2－x)，即x＝0时，取得最大值－2. 三、课堂检测（学生独立完成） 1.已知，求函数的最大值为 ．此时 2.若的最小值为 . 此时 3.若，则函数的最小值为 . 此时 四、课堂小结 1．利用基本不等式求函数最值时，应注意的问题 (1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断． (2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值． (3)确保等号成立． 以上三个条件缺一不可．可概括为“一正、二定、三相等”． [特别提醒]　连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致．若不能同时取等号，则不能求出最值． 2．应用基本不等式的常用技巧 获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键．常用的方法有： 拆项（分离）、添项、配凑 此法常用在求分式型函数的最值中． 如f(x)＝eq \f(?x＋5??x＋2?,x＋1)＝eq \f(x2＋7x＋10,x＋1)＝eq \f(?x＋1?2＋5?x＋1?＋4,x＋1) 可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑． 五、拓展探究（学生独立完成，有问题可以咨询老师） 例3：若是正数，且，求的最值. 变式1：若是正数，且，求的最值. 变式2：若是正数，且，求的最值. 变式3：若是正数，且，求的最值:和此时的值. 变式4：若是正数，且，求的最值和此时的值. 六、布置作业 A类作业 （全班