函数的最大值和最小值案例分析.doc

函数的最大值和最小值案例分析 常州市新桥中学 潘建民 一、案例背景: 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值” ，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义． 二、案例过程： 本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈回授”四个环节进行组织． 教学环节教 学 内 容设 计 意 图一、创 设 情 境，铺 垫 导 入 1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值． 如图,有一长80cm,宽60cm 的矩形不锈钢薄板,用此 SHAPE \* MERGEFORMAT 薄板折 成一个长方体无盖容器,要分别 过矩形四个顶点处各挖去 SHAPE \* MERGEFORMAT 一个 全等的小正方形，按加工要求, 长方体的高不小于10cm且不大于 20cm．设长方体的高为xcm,体积 为Vcm3．问x为多大时,V最大? 并求这个最大值． 解：由长方体的高为xcm， 可知其底面两边长分别是 （80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20). 所以体积V与高x有以下函数关系 V=（80－2x）（60－2x）x SHAPE \* MERGEFORMAT  =4（40－x）（30－x）x. 2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．  以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情． 实际问题中，函数和自变量x范围的设置，都紧扣本节课的核心：确定闭区间上的连续函数的最（大）值． 通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后,引导学生发现,求所列函数的最大值是以前学习过的方法不能解决的,由此引出新课,使学生深感继续学习新知识的必要性,为进一步的研究作好铺垫. 教学环节教 学 内 容设 计 意 图二、合 作 学 习，探 索 新 知1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？ 问题2：如果[a，b]上不连续一定还成立吗？ 2．如图为连续函数f(x)的图象： 在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？ 3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？ 归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求f (x)在(a,b)内的极值； （2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中． 对取得最大值最小值的两种可能位置的结论，在高中阶段不作证明，为使学生形成更深刻的印象，更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察各种区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度． 为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情． 学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作． 在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．深化对概念意义的理解：极值反映函数的一种局部性质，最值则反映函数的一种整体性质． 教学环节教 学 内 容设 计 意 图二、