《数学周报》杯2010年全国初中数学竞赛.doc

PAGE  初中数学竞赛复赛试题答案第 PAGE 9页（共 NUMPAGES 9页） “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准 一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） （1）若，则的值为（ ）． （A）（B）（C）（D） 【答】D． 解：由题设，得． （2）若实数a，b满足，则a的取值范围是（ ）． （A）a≤（B）a≥4（C）a≤或 a≥4（D）≤a≤4【答】C． 解：因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式 ≥0，解得a≤或 a≥4． 第（3）题 （3）如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（ ）． （A）（B）（C）（D）【答】D． 解：如图，过点A，D分别作AE，DF垂直 （第3题） 于直线BC，垂足分别为E，F． 由已知，可得 BE=AE=，CF＝，DF＝2， 于是 EF＝4＋． 过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中， 根据勾股定理，得AD＝． （4）在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）． （A）1（B）2（C）3（D）4【答】B． 解：由和， 可得，，，，，，，，…… 因为2010=4×502+2，所以=2． 第（5）题 （5）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180° 得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作 依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（ ）． （A）（2010，2）（B）（2010，）（C）（2012，）（D）（0，2） 【答】B． 解：由已知可以得到点，的坐标分别为（2，0），（2，）． 记，其中．根据对称关系，依次可以求得： ，，，． 令，同样可以求得点的坐标为（），即（）， ??于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） （6）已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ． 【答】0． 解：由已知，得 (a＋1)2＝5．所以a2＋2a＝4， 于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0． （7）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t的值为 ． 【答】15． 第（8）题 解：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，，．于是，，所以，x=30． 故 （分钟）． （8）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形 OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6）， B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直 线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成 面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ． （第8题） 【答】． 解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB， AFCE，DF，且相交于点N． 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即 点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形 CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形 CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线． 设直线的函数表达式为，则解得 故所求直线的函数表达式为． 第（9）题 （9）如图，射线AM，BN都垂直于线段AB， 点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别 交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD， 垂足为D．若CD＝CF，则的值为 ． 【答】． 解：见题图，设．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以． 又因为 FC＝DC＝AB，所以 ．即，解得，或（舍去）．又Rt△∽Rt△， 所以， 即=． （10）对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小