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求等比数列通项公式的常用方法 福建省漳州市平和第六中学 李秀枝 邮编：363700 等比数列的通项公式是研究等比数列的性质与其前项和的基础，也是研究数列问题的基石，所以等比数列通项公式的求法在等比数列的研究中占有重要的地位，下文就介绍求等比数列通项公式的常用方法. 一．定义法：先根据条件判断该数列是不是等比数列，若是等比数列则又等比数列定义直接求它的通项公式. 例1．求下列数列的通项公式 5，-15，45，-135，405，-1512… 解：所给的数列是等比数列，且是首项为5，公比为-3。所以通项 二．公式法：如果数列是等比数列，只要知道首项与公比，就可以根据等比数列的通顶公式来求。 例2：数列为等比数列，若，求通项 解，由已知得（利用等比数列的性质）， 即，解得或 当时，得， 当时，得， 评：等比数列的通项公式有时为了需要，不一定非得由与来表示，也可以用其他项来相互表示如 例3：已知等比数列中，，则该数列的通项= 解： 注：此类题目都会很醒目的出现等比数的字眼，目的求首项与公比，当然求首项和公比可灵活一些，如用等比数列的性质以及变换式. 三．递推关系式法：给出了递推公式求通项，常用方法有两种： （一）是配常数转化为等比数列，从而再求通项 例4．已知数列中，，求通项公式 解：由已知得：，∴ ∴数列是首项为，公比为2的等比数列 ∴.即. 评：对于形式的递推关系式，可以配常数，即，从而转化为等比数列，再求通项。也可以用迭代法。如 ， EMBED Equation.DSMT4 ，， ， 将上列各式相加得. （二）取倒数转化为等比数列，从而再求通项. 例5．已知数列中，，求通项公式. 解：易知，由，两边取倒数得，即.∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴ 故. 四．利用与的关系：与的关系为，把转化为的递推关系式，再求通项. 例6．已知数列的前的和为，且，其中为常数，，求通项公式. 解：∵ ∴当时， ∴，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列 ∴. . 五．实际问题中，根据题中的含义建立数列模型后，再研究与的关系，求等比数列的通项 例7．从盛满升纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去，问第次操作后溶液的浓度是多少？ 解：开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是，操作次后溶液的浓度为，由题意知：，∴数列是首项为，公比为的等比数列，. 等比数列通项的求法很多，而且也比较灵活。但最根本一点是要抓住等比数列的定义去求通项。这样才能在根本上解决问题。