结构振动剖析基本4章节.pptVIP

第4章 多自由度体系的振动分析 本章讨论多自由度体系振动分析的基本方法及多自由度体系的主要动力特征;为抗震计算的应用做准备。 4-1 多自由度体系自由振动 多自由度体系振动的一般方程在上章已经得到。 下面我们讨论无阻尼情况下自由振动的问题，方程为： 体系的频率、振型等重要动力特性。 多自由度体系的振动频率分析（刚度法） 单自由度体系无阻尼自由振动的解为： 设多自由度体系第i个运动自由度方向的位移为： 按自由度序号排列成的位移向量可以写成： 将此式代入多自由度体系自由运动方程,整理可得： 如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即： 此为频率方程或特征方程。 其中： 为位移的幅值向量 。 此为振型方程。 下面推导两个自由度体系的自振频率： 动力学问题 将特征方程展开，可得到一个n次代数方程，求解可得各阶频率： 特征方程为： 将行列式展开得： 求解一元二次方程得： 由上式可得到两个自振频率。注意： 具体求解过程可参见例4-1。 矩阵求特征值问题 因此： 多自由度体系的振型分析（刚度法） 求得各阶自振频率后代回振型方程，有： 对于n个自由度体系， 有n个未知数 上式为其齐次线性方程组。 因为其系数行列式为零，因此独立的方程只有n-1个， 只能求出n个未知数的相对值，而不能惟一确定振幅。 但可以用来惟一描述振动体系的形状——振型。 对于两个自由度体系： 振型的标准化：通常取第一个元素为1。 计算机程序中通常对质量归一化，即满足： 振型的计算过程可见例题4-2。 展开得： 利用上面的任一个方程将频率代入可得两个振型： 振型是各自由度按某一频率振动时的位移比。 补充例题1： 三层刚架。质量、侧移刚度如图所示。略去横梁变形。试求该刚架的自振频率和主振型。 解： （1）求频率 （2）求振型 多自由度体系的振动频率分析（柔度法） 同理，将位移向量代入柔度形式的运动方程整理可得振型方程： 其中特征值： 特征方程： 将特征方程展开，得到一个n次代数方程，求解 从而得到各阶频率。 多自由度体系的振型分析（柔度法） 将特征值带回原方程 ，利用与刚度法同样的方法可求得标准化振型。 补充例题2：求图示体系的自振频率和主振型。 解： （1）求频率 代入 （2）求振型 振型定义 当结构按某一自振频率作自由振动时，其变形形状保持不变，此变形形状称为结构的主振型，简称为振型(mode of vibration)。 ω1 ω2 多自由度体系自由振动的通解 取各振型的线性组合： 4-2 多自由度体系振型的正交性 正交的概念 如果两个向量正交 ，则 如果存在一个矩阵B，使得： 则称两个向量加权正交。 振型向量的正交性 n自由度体系有n个振型向量，这些振型向量中，对应于不同自振频率的振型向量之间存在着对质量矩阵和刚度矩阵的正交性，即： 这一性质，在多自由度体系动力分析中非常重要。 证明： 将体系的第i个振型代入振型方程，整理得： 上式两边同时左乘第j振型的转置得： 同理可得： 由于矩阵的转置等于矩阵倒序后转置的乘积，刚度矩阵和质量矩阵又为对称矩阵，可得： 同上式的推导可得： 因此经比较可得： 所以： 不同的两个振型： 必有： 正交性也可以从Betti（功的互等）定理证明： 如图所示的简支梁： 如果忽略其轴向变形，为三个自由度体系。 因此，它有三个自振频率和三个与之相应的振型。见图： 将振型代入振型方程可得： 可见右端的惯性力和左端的弹性力是平衡的。 可以将自由振动的运动看作是惯性力作用下产生的挠度。 对前两个振型应用Betti定理： 即： 正交性的利用 检验所求得的振型是否正确： 直接应用正交性的定义，具体算例见例4-3。 自振频率的计算： 已知振型，计算对应的自振频率。 多自由度体系自由振动的通解： 将通解代入运动方程： 可得： 各质点的位移是各振型的加权累加。 引入振型广义刚度和广义质量的概念： 上式两边同时左乘第j振型的转置，可得： 具体计算见例4-4。 则上式化为： 因此： 下面讨论如何应用正交性 根据正交性，求和号内除第j项以外都为零。可得： 与单自由度形式相同. 振型的计算： 已知n-1个振型，求未知振型。 利用已知振型与未知振型的正交性，列方程组求解。 位移的分解： 任意位移向量均分解为各振型的线性组合，也称为广义坐标变换，即： 多自由度体系运动方程的简化： 上式两边同时左乘 根据正交性得： 可得： 所以： 具体算例见例4-5。 将多自由度体系运动方程做广义坐标变换可得： 这样：n个自由度体系相互耦合的方程组 上式两边同时左乘第j振型的转置，根据正交性可得： 上式可进一步化为： 自由振动初值问题的确定： 首先写出位移和速度通解的表达式，两边左乘 然后利用振型的正交性，得出独立的2n个表达式 根据n个自由度初始位移和