线性代数2.4向量组秩.pptVIP

* 设有两个向量组 ?1, ?2, … , ?s ( A ) ?1, ?2, … , ?t ( B ) 如果组(A)中的每个向量 如果组(A)中的每个向量都可以由向量组(B)线性表示; 则称向量组(A)可以由向量组(B)线性表示. 组(B)中的每个向量 则称这两个向量组可以互相线性表示, 或称这两个向量组等价. 都可以由向量组(B)线性表示, 都可以由向量组(A)线性表示, 如 (A) (B) 组(A)可以由组(B)线性表示. 组(B)可以由组(A)线性表示. 这两个向量组等价. ?1,?2,…,?s (A) ?1,?2,…,?t (B) ?1 ,? 2,…,?p (C) 如果向量组(A)可以由向量组(B)线性表示, 如 ?1,?2 (A) ?1,?2 (B) ?1 ,? 2 (C) 即?1可以由?1,?2线性表示, 向量组(B)又可以由向量组(C)线性表示, 则向量组(A) 可以由向量组(C)线性表示. 同理?2可以由?1 ,?2 线性表示 即向量组(A)可以由向量组(C)线性表示. 定理2.9 设有两个向量组 ?1,?2,…,?s (A) ?1,?2,…,?t (B) 若st， 即组(A)中向量少， 例如 组(B)可以由组(A)线性表示， ∴组(B)线性相关 且向量组(B) 则向量组( B )线性相关 组(B)中向量多， 多的(B)可由少的(A) 则多的向量组(B)线性相关。 (B)中向量比(A)中多, 线性表示， 可以由向量组(A)线性表示, ?1,?2,…,?s (A) ?1,?2,…,?t (B) t ＞s 向量组(B)线性相关 设向量组(B) t ≤s 向量组(B)线性无关 结论：若向量组(B) 推论 若向量组(A)和(B)可以互相线性表示， 证:(B)可以由(A)线性表示, ∴s=t 两个向量组都线性无关， (A)可以由(B)线性表示， 且(B)线性无关， 则t ≤s 且向量组(A),(B)都线性无关， 则 s= t 则它们所含向量的个数相同。 且(B)线性无关， ∴t ≤s 且(A)线性无关， ∴s≤t 且能互相线性表示， 可以由向量组(A) 线性表示 可以由向量组(A)线性表示, 两个线性无关的向量组, 向量组的极大无关组， 例 考虑向量组 此向量组线性相关。 （维数 2 是向量组 的一部分, 称为向量组 的部分组. 线性无关, 称为向量组 的线性无关的部分组. 所含向量的个数4 ) 如果能互相线性表示, 则它们所含向量的个数相同。 向量组的秩 是向量组 的线性无关的部分组. 线性相关. 线性相关. 是向量组 的一部分. 线性无关. (3) 从向量组 中, 再取一个加入到 线性相关. 是向量组 得到的向量组 的一个极大线无关组. 例 考虑向量组 是向量组 线性无关. 线性相关. 线性相关. 线性相关. 线性相关. (3) 从向量组 中, 线性相关. 的到的向量组 再取一个加入到 称为向量组 的一部分. 的一个极大线无关组. 例 考虑向量组 是向量组 线性无关. 线性相关. 线性相关. (3) 从向量组 中, 线性相关. 得到的向量组 再取一个加入到 称为向量组 的一部分. 的一个极大线性无关组. 一般地,给定向量组 从中取出r个向量 得到的向量组 线性相关. 则称 极大线无关组. 加入到其中， 若这个部分组满足： 定义2.11 如果n维向量组 满足下述条件: (1) 线性无关 (2)在向量组 则部分组 向量组中的任一向量 中的一个部分组 中,任取一个向量, 添加到部分组 中, 所得到的新的部分组 都线性相关. 称为向量组 的一个极大无关组. 都可以由其极大无关组 线性表示. 向量组中的任一向量 证 设有向量组 不妨设它的一个极大无关组是 根据极大无关组的定义, (**) 线性相关. 故?r+1可由 故?r+2可由 线性相关. 故?s可由 线性相关. 故向量组 可由其极大无关组 ?1,?2,…,?r,线性无关,而 ?1可由 ?2可由 ?r可由 线性表示. 线性表示. 线性表示. 线性表示. 线性表示. 线性表示. 线性表示. 都可以由其极大无关组线性表示. 删 定义2.11′ 如果n维向量组 满足下述条件: (1