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2006－2007学年第二学期 高等代数A期末试题 考试时间2007年6月28日上午8：00-10：00 一、填空题（每小题4分，共24分） 1．设V为实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中，则V的维数是 ，其一组基为 。 2．实二次型的矩阵为 ，秩为 ，正惯性指数为 ，规范形为 ． 3．设三级方阵的三个特征值为1、2、－2，矩阵与相似，则的伴随矩阵的三个特征值为 . 4．方程的最小二乘解为 。 5．在中定义内积为，则的长度是 ，若，则 。 6．数域P上n 维线性空间V的全体线性变换所构成的线性空间L(V)的维数为　　 . 二、选择题（每题4分，共24分，题中只有一个选项正确） 1．若A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵的属于特征值的特征向量是 　 　 2．设A是n阶非零矩阵，且，下列命题中正确的是 3．设矩阵，其中则A为 (A)正定矩阵； （B）初等矩阵； （C）正交矩阵； （D）以上都不对。 4．设矩阵A与B相似，则必有 （A）A，B同时可逆或不可逆； （B）A，B有相同的特征向量； （C）A，B均与同一个对角矩阵相似； （D）矩阵与相等。 5．设A为n阶实对称矩阵， B为n阶可逆矩阵，Q为n阶正交矩阵，则矩阵 与A有相同的特征值。 6．设A为实对称矩阵。下列结论中有一条是错误的，错误的结论是 (A)若行列式则A正定； (B)若存在且正定，则A正定； (C)若A的特征值全大于0，则A正定；(D)若A合同于单位矩阵，则A正定。 三.计算 (10分)在线性空间中， 求的维数与一组基. 求的维数与一组基. 2．设。求一非退化的线性替换，化该二次型为规范形，并指出该二次型的正惯性指数，负惯性指数和符号差．（10分） 3．（12分）判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个正交矩阵T，使化成对角矩阵.其中 4．（10分）设 ， 求。 四、证明题（10分） 设及为维欧氏空间的两组基，且前者为标准正交基。 又 。证明：是标准正交基的充分与必要条件是， 为正??矩阵。