第3章微分方程的数值计算原理.pptVIP

第三章 微分方程的数值计算原理 §3.1 概述 §3.2 非稳态温度场的差分格式 §3.2.1显式差分格式——时间前向差分 §3.2.2完全隐式差分格式——时间向后差分 §3.2.3六点差分格式（C-N格式）——时间中心差分 §3.2.4带权差分格式 §3.3不同差分格式的特性 §3.3.1差分格式的稳定性 §3.3.2差分格式的精度 §3.4直接差分法与边界条件的差分化 §3.4.1直接差分法 §3.4.2边界条件的差分化 §3.5 有限差分与有限元网格剖分 ;§3.1概述 数值计算法是一种对微分方程的近似求解 基本思想是把本来求解变量随空间、时间连续分布和变化的问题，转化为在空间领域与时间领域的有限个离散点上求变量值的问题。由于解是由一系列的数值表达出来的（解析解则是由函数式表达），故称之为数值计算法（或数值解法）。 目前主要的数值计算法有： 有限差分法（FDM） 有限元法（FEM） 一般以前者应用较多;; 将函数值 按泰勒（Toylor）级数展开： ; 用差商代替微商可以有不同的方法，由此而产生的误差也不相同。一般一阶差商有三种形式： ;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.; 二阶微商由二阶差商近似，实际计算中多用其“中心差商”形式：;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;§3.2非稳态温度场的差分格式 在金属凝固与铸造过程中遇到的导热过程主要是非稳态导热。可以由下列傅立叶方程描述：;;（3-16）; 将（3-15）、(3-16)式代入(3-14)式得到差分方程：;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.; 当x，y，z三个方向上的节点步长相等，即Δx=Δy=Δz时，（3-17）式简化为：;§3.2.2完全隐式差分格式——时间向后差分 如果对式(3-14)左边采用向后差分来近似：;在Δx=Δy=Δz时，整理后得：;§3.2.3六点差分格式（C-N格式）——时间中心差分 设节点（i，j，k）在时刻tn=n△t的温度为 ，在时刻tn+1=（n+1）△t时刻的温度为 ，在时刻 的温度为 。我们对 时刻节点（i，j，k）的微分方程;(3-24);(3-26) ;在Δx=Δy=Δz时，整理得：;§3.2.4带权差分格式 由式(3-18)、(3-21)和(3-27)可以看出，上述三种差分格式所对应的微分方程可归结为一个通用表达式：; 由于除μ=0外所得到的差分格式都是隐式，因此，式（3-28）也被称为“一般隐式差分格式”，相应的差分方程为：;§3.3不同差分格式的特性 差分方程的解是对微分方程解的近似。不同的差分格式在计算中表现出不同的特性。例如：截断误差不同，即解的精度不同；求解方法简易不同，即编程计算的工作量不同；稳定性不同等等。在实际计算中应综合考虑各方面选用恰当的差分格式。但首先要考虑的应是使有限差分法所求得的解尽可能准确地代表原来微分方程定解问题的真实解，为此差分格式应具备以下特性： ①差分格式必须满足相容性（正确性）。所谓相容性，是指当差分格式的步长△x，△y，△z，△t等趋近于零时，内节点的差分方程应趋近于微分方程，定解条件的差分形式亦应趋近于原定解条件，这也就是说，从微分方程定解问题到差分格式的转变应该是可逆的，否则即称之为不满足相容性要求。 ②差分格式的解必须满足收敛性。这里所说的收敛性，是指差分格式的步长趋近于零时，其代数方程组的解应趋近于微分方程定解问题精确解的值。; 满足相容性是满足