离心率在解题中的应用.docVIP

PAGE  — PAGE 3— 离心率在解题中的应用 王学青 （江苏省吴江市平望中学　　２１５２２１） 离心率是圆锥曲线中的一个基本量，它可以用来统一定义圆锥曲线，解析几何中的许多习题都跟它有直接联系．对于某些习题，若能将题设中的有关条件跟离心率巧妙地联系起来，常常会起到简化解题过程、迅速求解的功效．现举例说明如下． 一、轨迹方程或曲线类型问题 例１　方程对应的点Ｐ（x,y）表示的轨迹为（　　） Ａ．抛物线　　　　　Ｂ．双曲线　　　　　Ｃ．椭圆　　　　　Ｄ．两条直线 分析：如果按一般方法：两边平方后再化简方程进行判断，不但计算较繁杂，右边还会出现xy这样的二次项．由于现行的教材中没有坐标轴旋转的内容，因而用这样的方法学生很难得到正确的结论．但如果把方程变形为，左端就是Ｐ（x,y）到Ｍ（１，０）的距离，右端显然是Ｐ（x,y）到直线的距离，上式即表示Ｐ（x,y）到Ｍ点的距离是直线l的距离的５倍，因Ｍ不在直线l上，根据圆锥曲线的定义，它的离心率e＝５＞１，故选Ｂ． 如用此法判别以下轨迹方程表示何种曲线就很容易了． （１）；（抛物线） （２）．（椭圆） 例２　以圆锥曲线焦点弦为直径的圆若与相应的准线的位置关系分别为①相交，②相切，③相离，那么此圆锥曲线一定分别是①＿＿＿，②＿＿＿，③＿＿＿． 分析：判定为何种圆锥曲线的关系是求得相应条件下的离心率的范围． 设圆锥曲线的焦点为Ｆ，焦点弦为ＭＮ，圆心为Ｐ，ＭM′，ＰＰ′，ＮＮ′分别与准线l垂直于Ｍ′，Ｐ′，Ｎ′（图１），则离心率． ①相交时，，此时e＞１，曲线为双曲线．同样可得出②抛物线，③椭圆． 例３　已知抛物线Ｃ：y２＝４x．若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线Ｃ的焦点Ｆ及准线l分别重合，试求椭圆的短轴端点Ｂ与焦点Ｆ连线的中点Ｐ的轨迹方程．（图２） 分析：由于可以求得焦点坐标和准线方程，因而假设Ｐ点为（x，y）后即可根据圆锥曲线的两个不同的定义，分别得出离心率的不同表达式，从而得到轨迹方程． 解　由y２＝４x得焦点Ｆ（１，０），准线l：x＝－１．设Ｐ点为（x，y），因Ｐ为ＢＦ的中点，得Ｂ点为（２x－１，２y），设椭圆中心为Ｏ′，ＢＢ′⊥l于Ｂ′，则有因此，得，化简得 ．又因Ｏ′在Ｆ的右方＞１．所以Ｐ点的轨迹方程为． 二、最值问题 例４　设Ｐ（５，－１），Ｆ为椭圆的左焦点，点Ｑ在椭圆上移动．为了使有最小值，求Ｑ点的坐标．（图３） 分析：根据题意，按两点间的距离公式列出的表达式，然后再按求最小值的常规方法求解，以确定Ｑ的坐标．这样解题过程相当繁杂，也难以求出结果．从题设知即椭圆的焦半径，椭圆中前面的系数，由此联想到用离心率、焦点、准线间的关系求解． 解　因，左准线为即x＝－２，设Ｑ到准线的距离为，因此，显然，所以只有当Ｐ，Ｑ，Ｎ三点共线，且Ｑ在Ｐ，Ｎ之间时，的值最小为，此时Ｑ点和Ｐ点的纵坐标相同．将代入椭圆方程得x＝４或x＝８，而x=8时Ｑ点在Ｐ点的右侧显然不合题意，舍去，所以Ｑ点的坐标为（４，－１）． 根据例４的解题思路，例５、例６的求解就很方便了． 例５　设双曲线的右焦点为Ｆ，点Ａ（９，２），试在双曲线上求一点Ｍ，使有最小值．（Ｍ（） 例６　已知点Ａ（２，１），在抛物线上求一点Ｍ，使有最小值，并求出最小值．（Ｍ（，１），最小值３） 解此类??只要观察定点和曲线上的动点连结的线段前面的系数是否为该圆锥曲线的离心率，求动点坐标时只要将过定点和准线垂直的直线方程对应的坐标代入曲线方程即得另一坐标，最小值即该点到相应准线的距离的e倍． 例７　已知．试求的最小值． 分析：由联想到为抛物线上的点，分别是Ｍ（a,b）到Ａ（２，１）和Ｆ（１，０）的距离，Ｆ（１，０）又恰为抛物线y２＝４x的焦点．此题经过这样变换不就是例６中求的最小值吗？因为抛物线离心率e＝１，很容易得Ｔ最小＝３． 离心率在解题中的应用，远非以上两个方面．但从上面的例子已经可以看出，利用离心率的有关概念及性质会使某些问题的解答变得十分简捷流畅，值得我们进行研究和总结．