数值分析方法第7章.pptVIP

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2017-04-21 发布于四川
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数值分析方法第7章.ppt

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数值分析方法第7章

? 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:;例如：;这是微积分的发明者之一Leibniz在1686年曾经让当时数学界人士求解的一阶微分方程式，吸引了许多数学家的注意，大约经过150年的探索到1838年, 刘维尔（Liouville)在理论上证明了这个微分方程不能用初等积分法求解，得借助于数值方法 ;数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n + 1个节点 ;步进式：根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值，一步一步向前推进。因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。;§1 欧拉方法 /* Euler’s Method */;也称欧拉折线法.;例用欧拉法求初值问题当h = 0.02时在区间[0, 0.1]上的数值解。;具体计算结果;表中y(xn)，是初值问题的真解在xn上的值。为近似值yn的误差。从表中可以看出，随着n的增大，误差也在增大，所以说，欧拉法计算简便，对一些问题有较大的使用价值，但是，它的误差较大，所得的数值解精确度不高。;定义;Euler’s Method;§ Euler’s Method;§ Euler’s Method;例 ;? xn ;? 中点欧拉公式 /* midpoint formula */;方法;? 改进欧拉法 /* modified Euler’s method */;§2 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta Method */;§2 Runge-Kutta Method;§2 Runge-Kutta Method;其中?i ( i = 1, …, m )，?i ( i = 2, …, m ) 和 ?ij ( i = 2, …, m; j = 1, …, i?1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。