毛召兵高考立体几何得分校本课题研究”.docVIP

PAGE  PAGE 13 浅谈“空间向量在立体几何中的应用” 黔江中学 毛召兵 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键． 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。其中比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算空间角与空间距离。下面我就如何用向量计算空间角和空间距离通过一些高考例题来详细讲解其应用，希望能起到一个抛砖引玉的作用。 一、应用空间向量求解立体几何中的空间角问题 1.求异面直线所成的角 分别在直线上取两个定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角，则 特殊情形：, 即异面直线a垂直于b。 【例1】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线AC与BC1的夹角 【例2】已知：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA1，BB1的中点， N B1 A A1 D B C C1 D1 M 求CM和D1N所成角的余弦值。 【例3】已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点. （Ⅰ）求异面直线与所成的角； （II）求平面与平面所成的二面角； （III）求点到平面的距离. 分析：在长方体中，以A为原点以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系。 由已知可得。又平面，从而与平面所成的角为， 又，，， 从而易得 　则，再利用向量定义式求异面直线的夹角。 评注：应用空间向量法解此类题避开了作平移及复杂的逻辑推理，只须求出异面直线所在的向量坐标，应用向量内积即可求夹角，然后利用公式求解异面直线所成的角。 2.求直线与平面所成的角 特殊情形：当，则直线a与平面垂直。 一般情形：在直线上取定（或与直线Ｌ共线的），求平面的法向量（如图所示），再求 则 注：，且 【例4】如图，在三棱椎P-ABC中，平面ABC，D，E，F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2， （Ⅰ）求直线PA与平面DEF所成角的大小； （Ⅱ）求点P到平面DEF的距离。 解：（Ⅰ）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知： A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）， ， ， 　设是平面DEF的一个法向量， 则 即 ，取x =1, 则 ， 　设PA与平面 DEF所成的角为， 则 评注：求线面角关键在于：找到平面的一个法向量，法向量与直线所在的向量夹角的互余的角，即为所求的角。 P C A B D 【例5】 如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，二面角P-BC-A等于45°。 （Ⅰ）求的值（Ⅱ）求PD与截面PAC所成的角大小 3.求二面角 方法1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．例题略 方法2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．例题略 方法3：（法向量法）构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图所示） 1）若二面角是“钝角型”的如图甲所示，那么其大小等于两法向量的夹角的补角， 图甲 即 2）若二面角是“锐角型”如图乙所示，那么其大小等于两法向量的夹角 图乙 即 【例6】如图，在正三棱柱A1B1C1—ABC中，D，E分别是棱BC、的中点， （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求异面直线与BE的距离。 解：（Ⅱ）由图易知：， ， 设是平面的一个法向量， 则，令 则 ，， 设是平面一个法向量，则， 令 则设二面角为， 则 下面以2004年福建理19题第二步为例： 【例7】在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、 SB的中点。 （Ⅰ）证明：AC⊥SB； （Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小； （Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。 分析：本题若想利用向量的方法解答，首先要先建立适当的直角坐标系，而所给的图形没有现成的垂直关系，但考虑到正三角形自身的对称性，不妨取AC中点O，连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz. 要想证明AC⊥SB，只须证明·=0，由已知不难推得 证明：（Ⅰ）A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0）， S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，). ∴