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正多边形和圆及圆的有关计算 一、知识梳理： 1、正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 定理：把圆分成n（n＞3）等分： （l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。 正n边形的每个中心角等于 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 2、正多边形的有关计算 正n边形的每个内角都等于 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 3、画正多边形 (1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆 正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。 正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长 （1）圆周长C＝2πR；（2）弧长 5、圆扇形，弓形的面积 （l）圆面积：； （2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为： 注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为 （3）弓形的面积 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。 弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。 （4）圆柱和圆锥的侧面展开图 a、圆柱的侧面展开图 圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的??形是一个圆柱。（如图所示） AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， C’D’，…都叫圆柱的母线。 圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。 圆柱的两个底面是平行的。 圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。 ∴S侧面=2πRh 圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R R是圆柱底半径，h是圆柱的高。如图所示 b、圆锥的侧面展开图 圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。 如图所示，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。 旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。 连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。 圆锥的侧面展开图如所示是一个扇形SAB 半径是母线长，AB是2πR。（底面的周长），所以圆锥侧面积为S侧面=πRL. 二、典型例题： 1. 如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六 边形的渐开线”，其中，，，，，，……的圆心 依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6， …….当AB＝1时，l2 011等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此 时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（ ）. A. 3? B. 6? C. 5? D. 4? 4. 以数轴上的原点为圆心,为半径的扇形中,圆心角,另一个扇形 是以点为圆心,为半径,圆心角,点在数轴上表示实数,如图, 如果两个扇形的圆弧部分(和)相交,那么实数的取值范围是__________. 5. 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m。（结果用π表示） 6. 如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且 AE