考研数学概率论第2讲补充.pptVIP

概率论与数理统计 第二讲补充内容 本讲主要问题 一、二维随机变量 二、边缘分布 三、条件分布 四、相互独立的随机变量 练习 答案: 又知边缘概率密度为 * * 一、二维随机变量 二、边缘分布 三、条件分布 四、相互独立的随机变量 1. 二维随机变量的概念 实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量. 实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ). 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关, 而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 说明 定义 设 E 是一个随机试验, 它的 样本空间是 S={e}, 设 X=X(e) 和Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量. 由它们构成的一 个向量 (X, Y) , 叫做二维随机变量。 如图 S e X(e) Y(e) 注意事项 三、二维随机变量 2. 二维离散型随机变量 ,... 2 , 1 , ), , ( = j i y x j i 定义 若二维随机变量 ( X, Y ) 所有可能取 到的不相同的数偶 是有限对或无限 可列对时, 则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量. 联合分布律: 其分布律表: 性质1 有 性质2 例 答案: 例 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数 中等可能地取值, 另一个随机变量 Y 在 1~X 中等可能地取一整数值.试求 ( X,Y ) 的 分布律. 答案: 由题意知, {X=i, Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4, 且是等可能的; 然后 j 取不大于 i 的正整数. 由乘法公式求得( X,Y ) 的分布律. 练习 袋中有2只黑球、2只白球、3只红球, 在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只数, 以Y表示取到白球的只数.(1)求(X,Y)的分布律. (2)求概率 答案: (1)X所有可能取的不同值为0,1,2;Y所有可能取的不同值为0,1,2. (X,Y)的分布律为 0 0 1/21 2 0 4/21 2/7 1 1/21 2/7 1/7 0 2 1 0 X Y (2) 三、二维随机变量 3. 二维连续型随机变量 定义 设(X,Y)是二维随机变量, 如果存在 定义在平面上的函数f(x, y), 满足条件 则称(X, Y)是连续型随机变量, 而f(x, y)称为二维随机 变量(X,Y)的概率密度函数或称为随机变量X和Y的联 合概率密度函数. 表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1. 说明 答案: 例 答案: 三、二维随机变量 4. 二维随机变量的分布函数 定义 几何解释(如图) 说明 (1)离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函 数归纳为 (2)连续型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数为 例 答案: 1. 离散型随机变量的边缘分布律 例1 已知下列分布律求其边缘分布律. 答案: 2. 连续型随机变量的边缘分布 四、边缘分布 边缘分布函数的定义 例3 设(X,Y)的概率密度为 其中区域G如下图所示, 求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度 答案: -1 0 1 P{X=u} 3/16 3/16 3/8 1/16 1/16 1/8 P{Y=v} 1/4 1/4 1/2 3/4 1/4 1 -1 1 -1 0 1 P{M=u} -1 1 0 1/4 2/4 1/4 0 0 3/4 1/4 P{N=v} 1/4 1/4 1/2 1 这两个二维随机变量的分布律是不相同的，但是却具有相同的边缘分布. 联合分布 边缘分布 1. 离散型随机变量的条件分布律 为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律. 定义 设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量, 对 于固定的 j , 若P{Y= yj }0, 则称 对于固定的 i , 若P{X= xi }0, 则称 为在X= xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律. 条件分布律具有分布律的