尺规三等分任意角的作法及其论证.doc

PAGE  PAGE 9 数学学科2009学年年度论文 “尺规三等分任意角”的作法及其论证 顺德区均安镇文田初级中学教师： 李顺乾 佛山市第一中学高二（18）班学生： 李子毅 电话“尺规三等分任意角”的作法及其论证 摘要：“尺规三等分任意角”，这曾是令无数数学家为难而又兴奋的难题。阿基米德曾证明过，虽然表面上是证明了，但他犯了一个致命的错误，就是他所用的条件超出了题给条件。 问题的出现，就会有解决问题的方法。通过“任意等分线段”的启示，这一数学难题得以解决。该法不但可以通过尺规“任意三等分角”，还可以“任意多等分角”。本论文从一、思维方向二、作图步骤三、数学理论论证等方面证明此法。 关键词：“尺规三等分任意角”的作法及其论证 正文 古希腊三大几何难题：（1）三等分角：用尺规作图法将任意角三等分。（2）立方倍积：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。（3）化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。 “尺规三等分任意角”，这曾是令无数数学家为难而又兴奋的难题。阿基米德曾证明过，虽然表面上是证明了，但他犯了一个致命的错误，就是他所用的条件超出了题给条件，这是不允许的。直到19世纪中期左右，这道曾难倒无数数学家的难题，被证明不可有限步骤内实现后，法国科学院对此题的任何文章或论文一概不受理，只给收集，且不对外宣传。数学，这个充满探索性的学科，很多学术性的问题都存在着规律与巧合，正如个位数是5的两位数的平方数，可以用完全平方的方法演绎出其简便计算方法，也正如尺规两等分角，也存在其特殊的简便作图方法。由此推断，尺规任意三等分角也并不是不可能的事。有时，一个问题的出现，似乎是不可能或不存在的规律，或是很复杂的问题，只要把问题简单化，就能找出解决的方法。经过作图与理论论证，本人认为尺规三等分角“这道曾难倒无数数学家的难题，被证明不可有限步骤内实现后，法国科学院对此题的任何文章或论文一概不受理，只给收集，且不对外宣传”这一规定实在说得太严重了。当初，哥白尼的“日心学说”，也被相关学术界认为是不可能的事，但经过进一步的论证，证实这是宇宙的现实。 初生牛犊不怕虎，我现就读佛山市第一中学高二（18）班学生：李××，其对科学的探究热情与执著，终于解决了这一难题。李××在2009年数学课上，从“尺规作图”这一节课的“课外阅读”中得知“尺规三等分任意角”是一个历史数学难题，于是产生了兴趣。回家后自学了“尺规作图”的相关知识，并对“尺规作图”的规则作出深入的研究，从“任意等分线段”中得到启示，对“尺规三等分任意角”展开了研究与思考。他想：一条线段可以任意等分，为何任意角不可以等分？可否借助任意等分线段来创设任意等分角呢？他把这一设想告诉了当初中数学教师的父亲李※※。父亲说：“这是一个数学难题，古往今来多少数学家为其费尽心血都未能如愿，你一个黄毛小子有其能耐？”李××说：“自从盘古开天地以来，多少苹果从树上掉下来，掉到头顶上的机会不尽“牛顿”一人。而牛顿却由此发现万有引力，这是勇者与凡人之别；又如，英国历史学家、前海军官员加文-孟西斯认为中国明代的郑和是第一个发现美洲大陆的人，他比欧洲探险家克里斯托弗-哥伦布到达美洲的时间早71年。但克里斯托弗-哥伦布有勇气开发美洲，这是机遇与智慧的结晶……。科学的探索不分阶层，不分你我，谁勇于探索谁先达彼岸。学术规律的存在是本质的，而发现规律却是偶然的”。一连串的“经典伟论”终于打动了父亲的心。于是，我父子俩齐心协力，开展了一轮探究。工夫不负有心人，终于从“任意等分线段”中得到启示，解决了这一数学难题（本人认为）。该法不但可以通过尺规“任意三等分角”，还可以“任意多等分角”。现将作法与证明表述如下： 一、思维方向 （1）把一个任意角作成一个等腰三角形，其中两角的边为两腰；（2）以等腰三角形底边为基线，通过借助平行线的作法把底边“三等分”（任意等分线段的作法）；（3）把底边的任意三等分点与角的顶点连接并作射线。则这两条射线（线段）就是这个任意角的三等分线。（4）利用这一思维方向推广，还可能把任意角任意等分。 二、作图步骤 题目：已知任意∠MAN（图1），求作射线AE、AD，使∠NAE=∠EAD=∠DAM。 M A N 图1 M A N 图2 B C M A N 图3 B C 作法：（1）在射线AM、AN上截取AB=AC（等腰三角形的作图方法）（如图2） （2）连结BC（图3）； M A N 图4 B C H （3）过点B作射线BH（图4） （4）顺次截取BB1=B1B2=B2B3（图5）； M A N 图5 B C H B1 B2 B3 M A N 图6 B C H B1 B2 B3 （5）连结B3C（图6）； M A N 图7 B C H