大自然中的分形现象大树.doc

大自然中的分形现象——大树 问题叙述： 1967年，一篇题为《英国的海岸线究竟有多长？》的论文出现在美国的《科学》杂志上，此论文对海岸线本质有独特的阐述，甚至震惊了当时的学术界。与此同时，此论文也成了作者Mandelbrot思想的转折点。分形理论也从此迅速发展起来，而Mandelbrot也成了分形理论的奠基人。 翻开过去的历史，不由的要怀疑分形的诞生和研究海岸线的长度为什么能够联系在一起。而大自然中最常见的分形现象就是——大树！粗略的看大树，发现树的每一个分支和整棵树的形状是相似的，将主树干加上几根枝条，再对枝条趋于无限地加枝条，就得到了一棵完整的树。联系Mandelbrot提出的分形的定义：如果一个图形的部分以某种方式与其整体本身相似，这个图形就称为分形。然后我们就通过绘出“数学树”，和真实的树相比较，得出大自然中最常见的分形现象。 问题分析： 为了研究方便，我们将树的结构尽可能简化，使他成为一个十分简单的数学模型：设图形为一条单位长直线段，将其二等分，在中点上各向两边角的方向延伸出两条长的线段得到图形。将的每段做同样的变换，得到。当n趋向于无穷大时得到一棵 图1 “数学树”（见右图1）。 但是这棵“数学树”太简单了，如果绘出来的话就不像一棵树，而像一个扫帚。 为了能够得到更真实的树，我们不妨再给出一个稍微复杂的树模型：设图形为一条单位长直线段，在第一个三等分点上各向两边角的方向延伸出两条长的线段，在中点处向左以延伸出长的线段，再在第二个三等分点处向右方以延伸出的线段。得到图形。将的每5个分支做同样的变换，得到（见下图2）。 图2 实验程序： hold on axis([-0.5,0.5,0,1]) z10=0;z50=i; z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3; plot(real([z10,z50]),imag([z10,z50])) convert1=0.75*exp(i*pi/4);convert2=0.75*exp(-i*pi/4); convert3=exp(i*pi/6);convert4=exp(-i*pi/4); A=[z10,z50]; n=5;N=0; for k=0:(n-1) N=N+5^k; end for k=1:N z10=A(k,1); z50=A(k,2); z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3; z5(1)=z20+(z50-z20)*convert1; z1(1)=z20; plot(real([z1(1),z5(1)]),imag([z1(1),z5(1)])) z5(2)=z20+(z50-z20)*convert2; z1(2)=z20; plot(real([z1(2),z5(2)]),imag([z1(2),z5(2)])) z5(3)=z30+(z50-z30)*convert3; z1(3)=z30; plot(real([z1(3),z5(3)]),imag([z1(3),z5(3)])) z5(4)=z40+(z50-z40)*convert4; z1(4)=z40; plot(real([z1(4),z5(4)]),imag([z1(4),z5(4)])) z5(5)=z50; z1(5)=z40; A(5*k-3,:)=[z1(1),z5(1)];A(5*k-2,:)=[z1(2),z5(2)]; A(5*k-1,:)=[z1(3),z5(3)];A(5*k,:)=[z1(4),z5(4)];A(5*k+1,:)=[z1(5),z5(5)]; end 实验数据结果及分析： “数学树”迭代次数为n,此时我们令n分别为1、3和5，下面三幅图分别为对应迭代图。 迭代一次 迭代三次 迭代五次 五、实验结论 从上面的实验结果可知，“数学树”和真实的大树相比（下面两幅图），可知大树背后就隐藏着这类具有自相似层次结构的分形几何原理。 综上所述，在我们生活中存在着许多分形现象。而自然界中许多事物，都具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，可以具有无穷层次的自相似。例如，夏日天空中的云彩、生长在峨眉山上冷杉树的树叶，等等。从生活走向科学，从科学走向社会！