第4讲[必修1]函数的值域与最值.pptVIP

*; 理解函数的单调性、值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段.;1.函数y=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)的值域是 .;3.函数f(x)=x2-2x(x∈［0,4］)的最大值是 ，最小值是 .;5.已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，则2x+3y2的最小值为 .;1.函数的值域与最值 (1)函数的值域是① 的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的② . (2)函数的最值. 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(ⅰ)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(ⅱ)存在x0∈I,使得f(x0)=M,则称M是函数y=f(x)的③ .类似地可定义f(x)的最小值.;2.基本初等函数的值域 (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为④ . (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域： 当a0时，值域为⑤ ; 当a0时，值域为⑥ . (3)反比例函数y= (k≠0)的值域为⑦ . (4)指数函数y=ax(a0且a≠１)的值域为⑧ .;(5)对数函数y=logax(a0且a≠１)的值域为⑨ . (6)正、余弦函数y=sinx(x∈R)、y=cosx(x∈R)的值域为⑩ ;正切函数y=tanx(x≠kπ+ ,k∈Z)的值域为 .;9;3.求函数的值域（最值）常用的方法 (1)二次函数用配方法. (2)单调性法. (3)复合函数的值域由中间变量的范围确定. 此外还有换元法、数形结合法、基本不等式法等. (4)导数法(选修内容). 4.若f(x)为闭区间［a,b］上的连续函数，则f(x)在［a,b］上一定有最大、最小值.; 已知函数y=f(x)的值域为集合D，函数y=f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M、N、D的关系是( ); 不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)，可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可知，A、B、C错误，选D.;题型二 函数值域的求法;1.函数的值域由定义域和对应法则一并确定,故应特别注意定义域对其值域的制约. 2.求值域的常用方法有： 1°观察法：一看定义域；二看函数性质；三列举. 2°函数单调性法（见例2）.;3°转换法. ①转换为基本函数（或条件基本函数）， 如y= 与y= 的关系,y= 与Ax2+Bx+C=0. ②转换为几何问题，数形结合. ③转换为三角函数问题,利用三角函数的有界性. 4°不等式法. 5°导数法.;求下列函数的值域： (1) y=2x2-4x+1; (2) y=log ; (3) y= .; (1)因为t=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3， 所以2t≥2-3= ,所以该函数的值域为［ ,+∞). (2)因为0t= ≤2,所以log t≥log 2=-1, 故该函数的值域为［-1,+∞). (3)y= =1+ . 该函数定义域为{x|x≠0，x∈R}， 所以-12x-10或2x-10, 从而y-1或y1, 所以该函数的值域为(-∞，-1)∪（1,+∞）.; 已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R). （1）若函数f(x)的最小值为0，求a的值； （2）若函数f(x)≥0对任意x∈R都恒成立，求函数g(a)=2-a|a+3|的最小值.;（1）因为f(x)=(x-2a)2+2a+6-4a2, 且f(x)min=0，所以2a+6-4a2=0， 所以a=-1或a= . （2）因为f(x)≥0,由△≤0知,2a2-a+3≤0， 解得－ ≤a≤ -1. 所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-a2-3a+2 -(a+ )2+ (a∈[- , －1]), 所以当a=-1时，g(a)min=4.;1.因为二次函数f(x)在R上连续，所以f(x)的最小值为0，即f(x)的值域为[0,+∞). 2.由于函数的最值不过是函数值域中的一个元