概率论与数理统计[第三章节第4节].pptVIP

第四节 随机变量的函数的分布;1. 离散型随机变量的函数的分布律; 解. 首先由 X 的可能取值确定 Y 及 Z 的取值:;Y ; 例2. 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合分布律:; 解. 对应于 X, Y 取值的 Z = X+Y 的值是; 记 Z = g(X) 或 Z = G( X, Y ), 求 Z 的分布律的一般步骤是：;◆ 当Z = g(X) 时, ; 当随机变量取整数值时, 可以得到如下更具体的公式:; 例3. 设随机变量 X、Y 相互独立, 均服从泊松分布, X ~ P(?1) , Y ~ P(?2) , 证明: X+Y ~ P(?1+?2) ;所以, X+Y ~ P(?1+?2) 。; ◆例3 的结论称为泊松分布具有 “再生性”。还可以证明;◆ 设随机变量 X1, X2, ··· , Xn 相互独立, 均 服从同样的 (0-1) 分布, 即 B( 1, p), 则 X1+X2+ ··· +Xn ~ B( n, p);2. 连续型随机变量的函数的分布; 解. X1, X2 的可能取值都是 0, 1; Y 的概率密度是;再求出(X1, X2)的联合分布律; 像例4 这种连续型随机变量的函数是离散型随机变量的题目, 其核心的运算是利用概率密度计算概率。; 例5. 已知随机变量 X 的概率密度为连续函数 fX (x) , 求: Y = X 2 的概率密度 fY ( y)。;当y 0 时,; 一般的, Y = g(X) 时;当 g(x) 为单调递增函数; 例6. 已知随机变量 X 的概率密度为连续函数 fX (x) , 求: Y = a X+ b (a≠0) 的概率密度 fY ( y)。;对 y 求导得到;由 的结论, 可得到一个重要性质:;特别地, ;◆ Z = G( X, Y )的概率密度;注: 如果能将不等式 { G( X, Y )≤z } 等价转换为关于 X, Y 的不等式 { X≤···}和{ Y≤···}, 则剩下的工作将不太困难。; 解. (1) 设 X1, X2, ··· , Xn 的分布函数和概率密度分别为FX(x)与fX(x), 有 Fmax(z) = P{ max( X1, X2, ··· , Xn )≤z };因为X1, X2, ··· , Xn 服从区间(0, a) 上的均匀分布, 有;(2) 类似地, 有;因此得到;◆随机变量之和的分布;故 FZ(z) =;于是 FZ(z) =;类似地, 在②式中对积分;fZ (z) =;◆正态分布具有再生性; 例9. 设随机变量X, Y 相互独立, 均服从区间 (a, b) 上的均匀分布, 求: Z = X+Y 的概率密度 fZ (z)。; 因此, 被积函数 fX(x) fY(z－x) 当不等式 a x b 与 a z－x b 同时成立时不为 0, 否则均为 0; 满足这个条件的 (x, z) 的区域如下图所示。;x;因此, 当 z≤2a 或 z≥2b 时,;所以, X+Y 的概率密度为;X+Y 的概率密度曲线如下:;◆随机变量的商的分布;如图所示:;对积分;因此,; 例10. 设随机变量 X、Y 相互独立, 分别服从参数为? (? 0) 和 ? ( ? 0) 的指数; 因此, 被积函数 fX(zy) fY(y) 当不等式 zy 0 与 y 0 同时成立时不为0, 否则均为 0; 满足这个 条件的是 y 0 且 z 0。于是;即得到