高数同济第6版下高等数学2第8章解答.docVIP

PAGE  PAGE 11 习题8-1向量及其线性运算 1.在平面上，求与三点、和等距离的点。 2.设已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角。 3. 设向量的模是，它与轴的夹角是，求在轴上的投影。 4. 设，和，求向量在 轴上的投影以及在轴上的分向量。 5. 从点沿向量方向取长为34的线段，求点的坐标。 解 设点的坐标为，则，且，即 ， 从而，所以点的坐标为 习题8-2数量积 向量积 1. 设，，求 （1）及；（2）及；（3）、的夹角的余弦。 2．已知、和，求与、同时垂直的单位向量。 3.求向量在向量上的投影。 4. 已知、，求的面积。 5. 设，问与有怎样的关系能使与轴垂直？ 解 ，在轴上取单位向量， 要使它与互相垂直，只须，即 ， 即为所求与的关系 习题8-3曲面及其方程 1.一动点与两定点和等距离，求这动点的轨迹方程。 2.将坐标面上的双曲线分别绕轴及轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。 习题8-4 空间曲线及其方程 1.分别求母线平行于轴及轴而且通过曲线的柱面方程。 2.求球面与平面的交线在面上的投影的方程。 3.将曲线的一般方程化为参数方程： 4.求曲线在平面上的投影方程。 解 从两曲面方程消去，得到母线平行于轴的投影柱面方程： 从而所求投影曲线方程为 5.已知空间曲线 。①求为准线而母线平行于轴的柱面方程；②求出在面的投影方程。 解 从的方程消去得到所求柱面方程： 从的方程消去得到投影柱面方程： 习题8-5 平面及其方程 1.求过点且与平面平行的平面方程。 2.求过、和三点的平面方程。 3.求平面与各坐标面的夹角的余弦。 4.分别按下列条件求平面方程： （1）平行于面且经过点； （2）通过轴和点; （3）平行于轴且经过两点和。 5.求点到平面的距离。 6.求通过点且垂直于平面的平面方程。 解 设所求平面方程为 ， 则其法向量， ，取 以点代入方程得 故所求平面方程为 习题8-6 空间直线及其方程 1.求过两点和的直线方程。 2.用对称式方程及参数方程表示直线. 3.求过点且与直线垂直的平面方程。 4.求直线，与直线，的夹角的余弦。 5.求直线，与平面的夹??。 6.求点到直线的距离。 7.求直线，在平面上的投影直线的方程。 8.求过点且与两个平面和的交线平行的直线的方程。 解 方法一 先求过点且与已知平面平行的平面 即 所求直线的一般方程为 方法二 所求直线的方向向量为两平面的法向量的向量积 故 又直线过点，故所求直线方程为 复习题八 1.设，，，求向量与的夹角。 2.设一平面垂直于平面，并通过从点到直线的垂线，求此平面的方程。 3.求曲线在三个坐标面上的投影曲线的方程。 4.求过点且与直线垂直的平面方程。 解 因所求平面过定点且与直线垂直，所以的方向向量与平面的法向量平行，将直线的参数方程改写为标准方程： 的方向向量为，故所求平面方程为 5.已知直线和，求经过且平行的平面方程。 解 的方向向量：，的方向向量：。取所求平面的法向量： 其方程为：， 整理得 。