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2004年郑州大学研究生考试数学试题 1.填空与选择 （1）是n维向量。设线性无关，可由线性表示，而不能由线性表示，则对于任意常数，必有（ ） A．线性无关 B. 线性相关 C. 线性无关 D. 线性相关 （2）A为3阶矩阵，A的秩r(A)=2, 为非奇次线性方程组AX=B(B0)的解向量，已知，则AX=B的通解是（ ） （3）A,B为3阶矩阵，满足,若B=,则（）=( ) (4)，则=（ ） （5）,A的最小多项式为（ ），B的最小多项式为（ ） （6）,其中是的伴随矩阵，则必有（ ） （A）a=b或a+2b=0 (B) a=b或a+2b0 (C) ab或a+2b=0 (D) ab或a+2b0 (7)V为数域P上向量空间V=P, ,V的子空间V,则时，dim(V)=1. (8)实二次型，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.则 以下六题任选且必选6题，每小题15分 2,P为数域，为向量空间 V=P的一组基，求2，B是n阶实对称矩阵，已知A与B相似，证明B也是正定矩阵。 4，为某实系数奇次线性方程组AX=0的一个基础解系， ，…，，其中为非零实常数，证明也是AX=0的解。又问满足什么关系时，也是AX=0的一个基础解系。 5，（1）A是n阶矩阵，秩r(A)=rn,证明:存在n阶矩阵B，使得AB=0,且B的秩r(B)=n-r. (2)A是n维线性空间V的线性变换。证明:存在V的线性变换B, 使得AB=0, 且dim(AV)+dim(BV)=n. 6，A是实数域R上3维向量空间V的一个线性变换，对V的一组基,有.求A的全部特征值；又设B=A-3A-9A,证明B是数乘线性变换，并求V的一个非平凡B-不变子空间。 7，证明：对数域P 上任意n阶矩阵A，总存在数t,使得可逆。又 ,求出所有使得可逆的t的值。 8，A为n阶矩阵，若存在正整数m，使得，则称A是幂零矩阵。证明：复幂零矩阵的特征值都为零；又若A为4阶复幂零矩阵，A的秩r(A)=3,求出A的诺尔当标准形，并证明秩为3的4阶复幂零矩阵都相似。 9，若AB=E,E为n阶单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的右逆。已知A为nm矩阵，nm,A的秩r(A)=n.证明A有右逆；举一个秩为2的23矩阵A的例子，说明A的右逆不是唯一的。